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检测信号的频域分析方法 离散傅里叶变换-采样定理 注意：满足采样定理，只保证不发生频率混叠，而不能保证采样信号能真实地反映原信号x(t)。工程实际中采样频率通常大于信号中最高频率成分的3~5倍。 检测信号的频域分析方法 离散傅里叶变换-截断、泄露 为便于数学处理，对截断信号做周期延拓，得到虚拟的无限长信号。 用计算机进行测试信号处理时，不可能对无限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时间片段进行分析，这个过程称信号截断。 检测信号的频域分析方法 离散傅里叶变换-截断、泄露 周期延拓后的信号与真实信号是不同的，下面从数学的角度来看这种处理带来的误差情况。 设有余弦信号x(t)，用矩形窗函数w(t)与其相乘，得到截断信号：y(t) =x(t)w(t) 将截断信号谱 XT(ω)与原始信号谱X(ω)相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱. 原来集中在f0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏。 检测信号的频域分析方法 离散傅里叶变换-截断、泄露 周期延拓信号与真实信号是不同的： 能量泄漏误差 检测信号的频域分析方法 离散傅里叶变换-截断、泄露 克服方法之一：信号整周期截断 检测信号的频域分析方法 离散傅里叶变换-截断、泄露 为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的截取函数对信号进行截断，截断函数称为窗函数，简称为窗。泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，如果两侧瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱。　 克服方法之二：窗函数 检测信号的频域分析方法 离散傅里叶变换-截断、泄露 汉宁窗又称升余弦窗，其时域表达式为： 相应的窗谱为： 与矩形窗对比，汉宁窗主瓣加宽并降低，旁瓣则显著减小。汉宁窗的旁瓣衰减速度也较快。比较可知，从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗。但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降。 检测信号的频域分析方法 离散傅里叶变换-FFT 1、栅栏效应 为提高效率,通常采用FFT算法计算信号频谱，设数据点数为N，采样频率为Fs。则计算得到的离散频率点为： Xs(Fi) ， Fi = i *Fs/N , i = 0，1，2，.....，N/2 X( f ) f 0 Δf Δ 检测信号的频域分析方法 离散傅里叶变换-FFT 1、栅栏效应 如果信号中的频率分量与频率取样点不重合，则只能按四舍五入的原则，取相邻的频率取样点谱线值代替。 栅栏效应：对一函数进行采样，实质上是“摘取”采样点上对应的函数值，其效果如透过栅栏的缝隙观看外景一样，只有落在缝隙前少数景象被看到，其余都被挡住，视为零，这种现象被称为栅栏效应。 检测信号的频域分析方法 离散傅里叶变换-FFT 2 能量泄漏与栅栏效应的关系 频谱的离散取样造成了栅栏效应，谱峰越尖锐，产生误差的可能性就越大。 例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为无穷大。 检测信号的频域分析方法 实际应用中，由于信号截断的原因，产生了能量泄漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相等，也能得到该频率分量的一个近似值。 从这个意义上说，能量泄漏误差不完全是有害的。如果没有信号截断产生的能量泄漏，频谱离散取样造成的栅栏效应误差将是不能接受的。 检测信号的频域分析方法 能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄漏可以减小因栅栏效应带来的谱峰幅值估计误差，有其好的一面，而旁瓣泄漏则是完全有害的。 0 栅栏效应与窗函数 检测信号的频域分析方法 总结： 信号截断?能量泄漏 FFT?栅栏效应 从克服栅栏效应误差角度看，能量泄漏是有利的。 检测信号的频域分析方法 总结： 信号截断?能量泄漏 FFT?栅栏效应 从克服栅栏效应误差角度看，能量泄漏是有利的。 检测信号的频域分析方法 随机信号的功率谱分析 自功率谱(自谱)密度函数 根据维纳-辛钦定理，自相关函数和自谱密度是一傅立叶变换对，即   幅值谱X(?)和功率谱密度Sx(?)之间的关系： 有 检测信号的频域分析方法 随机信号的功率谱分析 例1 滚动轴承振动信号的功率谱分析 检测信号的频域分析方法 随机信号的功率谱分析 互功率谱密度函数 若互相关函数Rxy(τ)满足傅里叶变换的条件 为信号x(t)和y(t)的互功率谱密度函数，简称互谱密度函数或互谱。 根据维纳—辛钦关系，互谱与互相关函数也是一个傅里叶变换对，因此Sxy(f)的傅里叶逆变换为：