球的表面积和体积.ppt.ppt

求组合体的体积时要注意几何体的结构特征，用分割与组合方法，利用体积公式进行求解。 1.3.2球的表面积和体积 柱体、锥体、台体的表面积 各面面积之和 展开图 圆台 圆柱 圆锥 知识回顾 柱体、锥体、台体的体积 锥体 台体 柱体 知识回顾 知识探究（一）:球的体积 思考1:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥的体积分是什么？ 思考2:如图，对一个半径为R的半球，其体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小关系？ 思考3:根据上述圆柱、圆锥的体积，你猜想半球的体积是什么？ R R R R 思考5:由猜想知，半径为R的球的体积 ， 这是一个正确的结论，你能提出一些证明思路吗？ R h R h h S1=π(R2-h2) S2=πR2-πh2 假设将圆n等分，则 n=6 n=12 A1 A2 O A2 A1 An O p A3 回顾圆面积公式的推导 温故知新 割 圆 术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”．他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”．这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”．这是世界上最早的“极限”思想． 极限思想 第一步：分割 O 球面被分割成n个网格， 表面积分别为： 则球的表面积： 则球的体积为： O 球的表面积 以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积分别为 第二步：求近似和 O 由第一步得： 球的表面积 O 第三步：转化为球的表面积 如果网格分的越细,则: ① 由①② 得: S=4πR2 ② 球的体积: 的值就趋向于球的半径R O “小锥体”就越接近小棱锥。 球的表面积 影响球的表面积及体积的只有一个元素，就是球的半径. 例1:圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证:(1)球的体积等于圆柱体积的2/3 (2)球的表面积等于圆柱的侧面积 证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R 由 证明:(2) 由 例1:圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证:(1)球的体积等于圆柱体积的2/3 (2)球的表面积等于圆柱的侧面积 例2.有三个小铁球，半径分别为1,2,3，将它们重新铸成一个大铁球，则大铁球的半径是多少？ 解：由体积相等 例3 某街心花园有许多钢球(钢的密度是7.9g/cm3)，每个钢球重145kg，并且外径等于50cm，试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的．如果是空心的，请你计算出它的内径（π取3.14，结果精确到1cm）． 解：由于外径为50cm的钢球的质量为： 街心花园中钢球的质量为145000g，而145000516792， 所以钢球是空心的． 解： 设球的内径是2xcm，那么球的质量为： 答：钢球是空心的．其内径约为45cm． 解得： 例3 某街心花园有许多钢球(钢的密度是7.9g/cm3)，每个钢球重145kg，并且外径等于50cm，试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的．如果是空心的，请你计算出它的内径（π取3.14，结果精确到1cm）． 例4 把直径5cm的钢球放入一个正方体的有盖纸 盒中，至少要用多少纸? 用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 解:当球内切于正方体时，用料最省. 此时正方体的棱长为球的直径5cm,正方体的表面积 S=6×52=150(cm2) 所以至少要用150cm2的纸. 例5 一个棱长为5cm的正方体纸盒恰好能装入 一 个球状木盒里，此时球的体积为多少? 想一想:此时正方体与球盒有什么位置关系? 球外接于正方体(即正方体的八个顶点在球面上) 面对角线 体对角线 a b c A B C 长方体体对角线的平方等于长宽高的平方和。 正方体体对角线的平方等于棱长平方的3倍。 球外接于正方体(即正方体的六个顶点在球面上) 解:棱长为5cm的正方体的体对角线长 即为球的直径. 例5 一个棱长为5cm的正方体纸盒恰好能装入 一 个球状木盒里，此时球的体积为多少? (1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 倍. (2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 倍. (3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 . (4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 . 随堂练习 * * * * * * * * * * * * * *