第28讲 2008年全国高数学联赛试题及详细解析第28讲 2008年全国高中数学联赛试题及详细解析第28讲 2008年全国高中数学联赛试题及详细解析第28讲 2008年全国高中数学联赛试题及详细解析.doc

受中国数学会委托，2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。 2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。全卷包括6道选择题、6道填空题和3道大题，满分150分。答卷时间为100分钟。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括3道大题，其中一道平面几何题，试卷满分150分。答卷时问为120分钟。 一试 ．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为cm2，则这三个正方体的体积之和为 （ ）764 cm3或586 cm3 （B） 764 cm3 　 （C）586 cm3或564 cm3 （D） 586 cm3 5．方程组的有理数解的数为 （） （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4 6．设的内角所对的边成等比数列则的取值范围（ ） （A） （B） （C） （D） 二、填空题（每小题9分） 11．设是定义在上的函数，若 ，且对任意满足 ，，则= 　 .．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是　 . 三、解答题（每小题20分） 13．的图像与直线 有且仅有三个交点，交点横坐标的最大值为，求证： ．14．．[来源:学科网][来源:Z*xx*k.Com] 加 试 一、（本题满分50分） 如图，给定凸四边形，，是平面上的动点，令． （1）求证：当达到最小值时，四点共圆； （2）设是外接圆的上一点，满足：，，，又是的切线，，求的最小值． 二、（本题满分50分） 设是周期函数，和1是的周期且．证明： （1）若为有理数，则存在素数，使是的周期； （2）若为无理数，则存在各项均为无理数的数列满足 ，且每个都是的周期． 三、（本题满分50分） 设，．证明：当且仅当时，存在数列满足以下条件： （1），； （2）存在； （3），． [来源:学科网][来源:Z_xx_k.Com]当时，，因此，当且仅当时取等号．而此方程有解，因此在上的最小值为2， ， ， ． 4. 【答案】A 5. 【答案】 B 6.【答案】C 【解析】设的公比为，则，而 因此，只需求的取值范围．成等比数列，最大边只能是或，因此要构成三角形的三边，必须且只需且．即有不等式组即解得从而，因此所求的取值范围．用4条棍子间的空隙3个学校，而用表示名额．如 表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“”与每个“”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有种．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种设分配给3个学校的名额数分别为，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程的正整数解的个数，即方程的非负整数解的个数，它等于．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种 12.【答案】 【解析】 如图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．因， 故，从而． 记此时小球与面的切点为，连接，则．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如图2．记正四面体的棱长为，过作于．因，有，故小三角形的边长．小球与面不能接触到的部分的面积为（如图2中阴影部分）． 又，，所以．由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．　　　　　　　　　　　　　　　 由且在上为增函数故不等式等价于．　　　　　　　　　　　　　　 分组分解