第29讲 2009年全国高数学联赛试题及详细解析第29讲 2009年全国高中数学联赛试题及详细解析第29讲 2009年全国高中数学联赛试题及详细解析第29讲 2009年全国高中数学联赛试题及详细解析.doc
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受中国数学会委托,2009年全国高中数学联赛由黑龙江省数学会承办。中国数学会普及工作委员会和黑龙江数学会负责命题工作。
2009年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况,以及综合和灵活运用的能力。全卷包括8填空题和3道大题,满分100分。答卷时间为80分钟。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展,适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题,其中一道平面几何题,试卷满分200分。答卷时问为150分钟。
一 试
5.椭圆上任意两点,,若,则乘积的最小值为 .[来源:学科网ZXXK]
若方程仅有一个实根,那么的取值范围是 .
一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是 (可以用指数表示)
某车站每天,都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到站的时间是相互独立的,其规律为
到站时刻
概率[来源:学.科.网] 一旅客到车站,则它候车时间的数学期望为 (精确到分).
二、解答题
(14分)设直线(其中,为整数)与椭圆交于不同两点,,与双曲线交于不同两点,,问是否存在直线,使得向量,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.
加试
一、填空(共小题,每小题分,共分)
如图,,分别为锐角三角形()的外接圆上弧、的中点.过点作交圆于点,为的内心,连接并延长交圆于.
⑴求证:;
⑵在弧(不含点)上任取一点(,,),记,的内心分别为,,求证:,,,四点共圆.求证不等式:
,,2,…
设,是给定的两个正整数.证明:有无穷多个正整数,使得与互素.[来源:学科网ZXXK]
当时等号成立.故的最小值为.
又由柯西不等式得[来源:学科网ZXXK]
\
[来源:学科网ZXXK]
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