第37课 向量及向量的加和减法第37课 向量及向量的加法和减法第37课 向量及向量的加法和减法第37课 向量及向量的加法和减法.doc

第37课 向量及向量的加法和减法 ●考试目标 主词填空 1.向量的有关概念 ①既有大小又有方向的量叫做向量.②向量的长度(模)是指向量的大小.③平行向量(共线向量)的概念是方向相同或相反的非零向量.④两向量相等的充要条件是同向等长. 2.向量的加、减法运算 ①几何法:有三角形法则，平行四边形法则.②坐标法，设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b= (,),a-b=(). ●题型示例 点津归纳 【例1】 下列情形中向量的终点各构成什么图形? (1)把平面中一切单位向量归结到共同的始点；(2)把空间中一切单位向量归结到共同的始点；(3)把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点；(4)把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点(在同一平面内). 【解前点津】 在(1),(2)中,始点到终点的距离是常量1,(3)是平面图形. 【规范解答】 (1)以始点为圆心的单位圆；(2)以始点为球心，半径为1的球面；(3)以始点为圆心且与已知平面平行的单位圆.(4)是以始点为间断点的一条直线. 【解后归纳】 向量经平移后，不改变方向与大小，仅仅是“变更位置”而已. 【例2】 (1)设ABCD-EFGH是一个平行六面体(如图(1))，在下列各对向量中，找出相等的向量和互为反向量的向量.①,;②,;③,;④,;⑤,. (2)设△ABC和△A′B′C′分别是三棱台ABC—A′B′C′的上、下底面(如图（２）)，试在向量、、、,,,,,中找出共线向量和共面向量. 【解前点津】 对两个向量而言，不论处于何种位置，等长同向则相等；等长反向则互反. 【规范解答】 (1)相等向量有(2),(3),(5),互为反向量的有(1),(4). (2)共线向量有: 与,与,与;下面一组向量是共面向量: ,,,,, 【解后归纳】 正确理解有关概念是关键，如共面向量，就是在空间中，对向量施行平移动作，使它们最后都落在同一平面内，那么这些向量就是共面向量. 【例3】 平面内给定三个向量:a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),解答下列问题. (1)求3a+b-2c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k; (4)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求d. 【解前点津】 直接运用坐标运算. 【规范解答】 (1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2·(4,1)=(9,6)+(-1,2)+(-8,-2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6). (2)由条件得:(3,2)=m·(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n), ∴ 解之 . (3)∵(a+kc)∥(2b-a)又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), ∴2×(3+4k)-(5)×(2+k)=0解之:k=-. (4)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1, 故得方程组 解之得 或 ∴d=或 【解后归纳】 本题使用了两向量平行的充要条件:在向量式中:a∥ba=λb.在坐标式中:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥bx1y2-x2y1=0. 【例4】 已知四边形ABCD中, =a-2c, =5a+6b-8c, 对角线、的中点分别为E,F,求. 【解前点津】 ∵E、F是中点, ∴+=0,+=0. 利用向量加法的多边形法则可列出若干个等式，综合利用这些 “讯息”,就能用a,b,c表示. 【规范解答】 由条件可得: +++=0 ① +++=0 ② ①+②得:2+(+)+++(+)=0. ∵F,E是中点, ∴+=+=0, ∴2=-(+)=+, ∴=(+)=［(a-2c)+(5a+6b-8c)］=3a+3b-5c. 【解后归纳】 对任何图形而言，都有:. ●对应训练 分阶提升 一、基础夯实 1.△ABC中,已知=3,则等于 ( ) A.(+2) B. (+2) C.(+3) D. (+2) 2.如果点M是△ABC的重心,D、E、F分别为、BC、CA中点，那么等于 ( ) A.6 B.-6 C.0 D.6 3.λ、μ、γ∈R,则λ+μ+γ=0成立的充要条件是 ( ) A.|λ|=|μ|=|γ| B.λ=μ=γ C.λ+μ+γ=0 D.λ=μ=γ=0 4.如果=a,=b,那么a=b是四点A、B、C、D构成平行四边形的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条