第八节 线性空间的同构第八 线性空间的同构第八节 线性空间的同构第八节 线性空间的同构.ppt

§6.8 线性空间的同构 高 等 代 数 第八节 线性空间的同构 * * 第六章 线性空间 Linear Space 设 ?1 , ?2 , … , ?n 是线性空间 V 的一个基，在 这个基下， V 中每个向量都有确定的坐标，而向 量的坐标可以看成 P n 的元素. 因此，向量与它的 坐标之间的对应实质上就是 V 到 P n 的一个映射. 这个映射既是单射又是满射， 换句话说，坐标给 出了线性空间 V 与 P n 的一个双射. 这个对应的重 要性表现在它与运算的关系上. 一、引入 设 ? = a1?1 + a2?2 + … + an?n , ? = b1?1 + b2?2 + … + bn?n . 即向量 ? , ? 的坐标分别是( a1, a2, ... , an ) , ( b1, b2, … , bn ), 那么 ? + ? = (a1+ b1)?1 + (a2+ b2)?2 + … + (an+ bn) ?n , k? = ka1?1 + ka2?2 + … + kan?n . 于是向量 ? + ? , k? 的坐标分别是 ( a1+ b1 , a2+ b2 , … , an+ bn ) = ( a1, a2, ... , an ) + ( b1, b2, … , bn ), ( ka1, ka2, ... , kan ) = k( a1, a2, ... , an ) . 以上的式子说明在向量用坐标表示之后， 它 们的运算就可以归结为它们坐标的运算. 因而线性 空间 V 的讨论也就可以归结为 Pn 的讨论. 定义 1 数域 P 上两个线性空间 V 与 V ? 称为 同构的， 如果由 V 到 V ? 有一个双射 ? , 具有以 下性质： 1) ? (? + ? ) = ? (? ) + ? (? ) ； 2) ? (k? ) = k? (? ) , 其中 ? , ? 是 V 中任意向量，k 是 P 中任意数. 这 样的映射 ? 称为同构映射. 二、同构的概念 前面的讨论说明在 n 维线性空间V 中取定一个 基后，向量与它的坐标之间的对应就是 V 到 P n 的 一个同构映射. 因而，数域 P 上任何一个 n 维线性 空间都与 P n 同构. 1. ? ( 0 ) = 0 , ? ( - ? ) = - ? (? ) . 2. ? (k1?1+ k2?2 + … + kr?r ) = k1? (?1) + k2? (?2) + … + kr? (?r) . 证明 三、同构映射的性质 ? ( 0 ) ? ( - ? ) = ? ( 0? ) = 0, = 0? (? ) = - 1? (? ) = ? (- 1? ) = - ? (? ) . 证明 ? (k1?1+ k2?2 + … + kr?r ) = ? (k1?1 ) + ? ( k2?2 ) + … + ? ( kr?r ) = k1 ? (?1 ) + k2 ? (?2 ) + … + kr ? (?r ) . 证毕 证毕 3. V 中向量组 ?1, ?2 , … , ?r 线性相关的充分 必要条件是，它们的像 ? (?1) , ? (?2) , … , ? (?r) 线性相关. 证明 必要性 设 ?1, ?2 , … , ?r 线性相关， 即有不全为零的数 k1 , k2 , … , kr 使 k1?1+ k2?2 + … + kr?r = 0 . 由性质 1，得 ? ( k1?1+ k2?2 + … + kr?r )= ? (0) = 0 , 再由性质 2，得 k1? (?1) + k2? (?2) + … + kr? (?r) = 0 . 充分性 设 ? (?1) , ? (?2) , … , ? (?r) 线性相关， 即有不全为零的数 k1 , k2 , … , kr 使 k1? (?1) + k2? (?2) + … + kr? (?r) = 0 . 于是有 ? ( k1?1+ k2?2 + … + kr?r ) = 0 , 由于 ? 是 双射，只有 ? (0) = 0，所以 k1?1+ k2?2 + … + kr?r = 0 , 即 ?1, ?2 , … , ?r 线性相关. 证毕 由此即得 ? (?1) , ? (?2) , … , ? (?r) 线性相关. 注 ◆ 同构的线性空间有相同的维数. 4. 如果 V1 是 V 的一个线性子空间，那么，V1 在 ? 下的像集合 ? (V1) = { ? ( ? ) | ? ? V1 } 是 ? (V) 的子空间，并且V1 与 ? (V1) 维数相同. 5. 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘 积还是同构映射. 证明 设 ? 是线性空间 V 到 V ? 的同构映射