第八章 欧氏空间第八章 欧空间氏空间.ppt

8.1 向量的内积 一、内容分布 8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义 8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角 8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质 二、教学目的： 1．理解以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的长度、单位向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量的距离． 2．掌握常见的几种欧氏空间；会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量ξ与η的内积ξ,η． 3．掌握 8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义 8.1.2 向量的长度、两非零向量的夹角 8.1.3 向量的正交 8.2 正交基 一、内容分布 8.2.1正交组的定义、性质 8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性 8.2.3子空间的正交补 8.2.4正交矩阵的概念 8.2.5 n维欧氏空间同构的概念及判别 二、教学目的： 1．掌握正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念及基本性质． 2．熟练运用施密特正交化方法，由一个线性无关向量组求出一个标准正交向量组 3．掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念及基本性质，并会求某些子空间的正交补． 4．掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系． 5．掌握n维欧氏空间同构的概念及基本理论． 三、重点难点：正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念; 子空间的正交补的概念及基本性质;施密特正交化方法 8.2.1正交组的定义、性质 8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性 8.3 正交变换 设 令 证明 当W = {0}时，定理显然成立，这时 设 由于 W的维数有限， 因而可以取到W的一个规范正交基 那么 而 由于 是W的基，所以ζ与W正交， 这就证明了 即 剩下来只要证明这个和是直和。这是 那么 从而 定理被证明。 显然的，因为如果 证明 对于任意 所以 定理8.2.5 设W 是欧氏空间V 的一个有限维子空间，ξ是V 的任意向量，η是ξ在W 上的正射影，那么对于W 中任意向量， 都有 于是 如果 那么 所以 即 我们也把向量ξ在子空间W上的正射影η叫做W到ξ的最佳逼近。 8.2.4 正交矩阵的概念 定义2 一个n 阶实矩阵U 叫做一个正交矩阵， 如果 定理8.2.6 n 维欧氏空间一个标准正交基到另 一标准正交基的过渡矩阵是一个正交矩阵. 例6 设 是欧氏空间V的标准正交 基，且 证明：当T是正交矩阵时, 是标准正交基. 练习2 设 标准正交基,证明: 也是V的一个标准正交基. 是三维欧氏空间V的 8.2.5 n 维欧氏空间同构的概念及判别 1．n维欧氏空间同构的定义 定义3 欧氏空间V与 说是同构的，如果 (i) 作为实数域上向量空间，存在V 到 的一个 同构映射 (ii) 对于任意 ，都有 2．n维欧氏空间同构的概念及判别 定理8.2.7 两个有限维欧氏空间同构的充分且 必要条件是它们的维数相等. 推论8.2.8 任意n维欧氏空间都与 同构. 思考题 求 的解空间W的一个标准正交基. 的一个标准正交基. 并求其正交补 一、内容分布 8.3.2 正交变换的等价条件 8.3.1 正交变换的定义 1．掌握并会用正交变换的概念及几个等价条件． 3．掌握并会用正交矩阵的某些性质． 二、教学目的： 2．掌握 的正交变换的全部类型． 三、重点难点： 正交变换的概念及几个等价条件 8.3.1 正交变换的定义 定义1 欧氏空间V的一个线性变换σ叫做一个 正交变换，如果对于任意 都有 例1 在 里,把每一向量旋转一个角?的 的一个正交变换. 线性变换是 例2 令H是空间 里过原点的一个平面.对于 每一向量 ，令?对于H的镜面反射 与它对应. 是 的一个正交变换. 例3 欧氏空间V的一个线性变换是正交变换的充要条件是使任意两个向量的距离保持不变,即对一切, 都有. 8.3.2 正交变换的等价条件 定理8.3.1 欧氏空间V 的一个线性变换σ是正交变换的充分且必要条件是：对于V 中任意向量 ， . 证明 条件的充分性是明显的. 因为（1）中 取ξ=η，就得到 ，从而 .反过来，设σ是一个正交变换，那么对于ξ,η∈ V，我们有 然而 由于 比较上面两个等式就得到： 定理8.3.2 设V 是一个n维欧氏空间，σ是V 的一个线性变换，如果σ是正交变换，那么σ把V 的任意一个标准正交基仍旧变成V 的一个标准正交基；反过来，如果σ把V 的某一标准正交基仍旧变成V的一个标准正交基，那么σ是V 的一个正交变换. 定理8.3.3 n 维欧氏空间V的