的概率密度.ppt

* 定义 设连续型随机变量 概率密度为 分布函数是 特别地， 其概率密度为 分布函数是 一、正态分布的相关内容： 若 则X 落在区间 内的概率是： 查表 特别地， [注1] [注2] 若 则 若 则 若 k 为奇数， 若 k 为偶数，则： 则： 中心矩： 设二维随机变量( X,Y) 的联合概率密度如下： 二、二维正态分布 其中 这种分布称为二维正态分布。 可以证明： 即 对于二维正态分布，随机变量X 与Y 独立 r = 0. 结论: 定理1 三、正态随机变量的线性函数的分布 （即：正态随机变量的线性函数仍服从正态分布） 推论 定理2 （即：独立的正态随机变量的和仍服从正态分布） 定理3 列维定理 学期望和方差： 则当 时，它们和的极限分布是正态分布，即 (z 为任意实数.) 设独立随机变量 考虑随机变量: 则 服从相同的分布并且有数 四、中心极限定理 德莫威尔—拉普拉斯定理　 其中z 是任何实数， 设在独立实验序列中，事件A 在各次实验中发生的概率为 随机变量 表示事件A 在n 次实验中发生的次 数，则有 　 由于随机变量　 服从二项分布 拉斯定理说明：当 n 充分大时，服从 的随机变量 所以德莫威尔—拉普 近似地服从正态分布 1. 解 五、练习题 2. 解 则 3. 已知某机械零件的直径(mm)服从正态分布 规定直径在100±1.2(mm)范围内为合格, 求这种机械零件不合格品率. 解: 设随机变量 X 表示这种机械零件的直径, 由题意: 4. 解 测量到某一目标的距离时发生的随机误差X(米)具有概率 密度: 显然 在一次测量中误差的绝对值不超过 30米的概率为： ∴所求的概率为： 设Y 表示在三次独立测量中事件 出现的次数， 则 求在三次测量中至少有一次误 差的绝对值不超过30米的概率。 5. 设随机变量 求:随机变量 的概率密度. 解: 由题意: 且 y 0 所以: y ≤0时, y 0时, 0. y 0 y ≤0 解 若 6. 解： 7,10.设随机变量 X~N ( 0,1)， 若 n为奇数，则 若 n为偶数，设n = 2k 令 求随机变量函数 ( n 为正整数) 的数学期望与方差及相关系数. n为奇数 n为偶数 n为奇数 n为偶数 n为奇数 n为偶数 n为奇数 n为偶数 8. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为 求 的数学期望和方差. 解 9. 解 解 DX = 16 ， DY=25 ， 求X 与Y 的密度函数. 11. 设二维随机变量( X,Y) 服从正态分布， E(X) = E(Y) = 0， 12. 设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布: 求:(X,Y)落在椭圆 内的概率. 解: 令 13. 已知矢径OP 的终点坐标(X,Y)服从二维正态分布: 解: 求:矢径OP 的长度Z=|OP| 的概率密度. 15. 解 16. 两台机床分别加工生产轴和轴衬.设随机变量X(mm)表示轴 直径,随机变量Y(mm)表示轴的内径,已知 在1~3(mm)之间, 显然X与Y是独立的,若轴衬的内径与轴的直径之差 求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率. 则轴与轴衬可以配套使用. 17. 证 解: 由题意: 即: 18. 设随机变量 X,Y,Z 相互独立,都服从标准正态分布N(0,1), 求:随机变量函数 的概率密度, 数学期望与方差. 解: 1) 由题意: 对于任意的实数 u , 0 0 * * *