第二章 线性模型及自相关偏相关函数1第二章 线性模型及自相关与偏相关函数1第二章 线性模型及自相关与偏相关函数1第二章 线性模型及自相关与偏相关函数1.doc

第二章 线性模型及自相关与偏相关函数 §1．随机线性模型 对于随机差分方程： （I） 系数及两个多项式满足一定约束且是一白噪声，，当时，，则称是（I）之一个平稳解，我们将给予上述线性模型进行详细讨论. 首先通过一、二个例子简单说明随机序列、随机模型与时间序列应用之间的关系. 例1 在某一专用计算机的固定程序中，包括如下的简单迭代计算 （II） 其中为固定常数 由于计算机的字长有限，每次计算上式时都会有舍入误差. 若以和分别表示计算机的计算值和真实值，则二者之差便是一个误差序列，我们现在来分析它的内在变化规律. 设在计算时产生的舍入误差为，于是计算值为 （2） （3） 经验表明，舍入误差近似为均匀分布的白噪声，其方差依计算机的字长而定. 于是（3）式就是计算（1）式时，计算误差序列的所满足的随机模型 的特殊情况. 以后我们将主要讨论为正态分布的情况. （3）和普通差分方程，由于是随机序列，也是随机序列. 随着初值不同而不同，于是序列也各次取不同值，但是它与相应的都满足（3）式. 若用表示一步延迟算子，即 （4） 为输入为输出，一级反馈系（数）统. 例2 空间飞行目标（如飞机、导弹或卫星）. 在一空域飞行时，其加速度常常被视为随机过程，在离散采样时，就是随机序列. 比如在绪论的例2中我们曾把看作满足第一章差分方程的平稳序列，并希望用时序分析方法估计的模型参数. 但不能象例1那样用简单推导列出的模型. 随机序列与随机模型的关系： ①与例1类似，从实际背景出发，能够准确导出误差序列所满足的随机模型，即称之为能用物理方法列出的随机模型. ②与例2类似，对于物理过程，并无物理方法能准确列出它的模型. 事实上，我们说具有差分方程的模型，这只是一种近似地描述随机序列的手段，即用具有有理谱的平稳序列来近似描述. 这时我们用的样本序列来估计模型（差分方程），这就要用到时序分析方法. （绪论中例1~例4，大量事例） 有理谱与随机模型（差分方程）关系一般归纳为三： 一、具有有理谱的平稳序列必满足随机模型. 二、随机模型（差分方程）的平稳解便于在最小（均方）差意义下进行最佳预报和控制设计. 三、有理谱能较好地逼近各种连续谱密度. 差分方程（随机线性模型）： （I） 用表示步线性推移算子，即 ，为常数 并令 （II） 于是（I）又可简写为： （III） 把作为算子的多项式，通常假定它们之间无公共因子. 为方便计：参量常用向量表示 （IV） 于是模型（I）和（III）中，用线性差分方程描述了和这两个序列不同时刻之间的线性关系，因而是一种线性时序模型. 但以后，我们总假定（I）式中为正态平稳白噪声，其方差，且假定（时刻的白噪声与时刻的不相关），与无公共因子. 常假定 另外，（I）与（III）两种特殊情况： or （V） or （VI） （若，即，而且满足（I）式，则有 ，这就是随机序列的均值不为零时的模型，它不是我们讨论的主要对象. 相关函数与的完全相同，只要讨论（I）模型就够了.) 随机线性模型分类： （1）Moving Average Models：若（VI）式中的系数多项式（可逆滑动平均模型）的根全在单位圆外，即其根的模都大于1，我们称（VI）为~. 其解叫做可逆滑动平均序列. 简称为MA模型和MA序列. 滑动平均阶数，和称为它们的参数. 简记模型（序列），表示阶纯滑动平均的. （2）Autoregressive Models：若（V）式的系数多项式的根全在单位圆外，即其根的模都大于1. 我们称（V）式为平稳自回归模型，其平稳解叫做平稳自回归序列，分别简称为模型和序列. 自回归阶数和称为它们的参数. 记号模型（或序列），表示模型是阶纯自回归的. （3）模型（或序列）（平稳自回归-可逆滑动平均混和模型）若模型（I）或（III）式中的系数多项式和无公共因子，而且分别满足上面的平稳性条件和可逆性条件，我们就称这一模型为~. 其平稳解叫做自回