第二章 赋范线性空间-黎永第二章 赋范线性空间-黎永锦第二章 赋范线性空间-黎永锦第二章 赋范线性空间-黎永锦.doc

第2章 赋范线性空间 虽然不允许我们看透自然界本质的秘密, 从而认识现象的真实原因,但仍可能 发生这样的情形：一定的虚构假设 足以解释许多现象. (欧拉) (1707-1783,瑞士数学家) 在1908 年讨论由复数列组成的空间 时引入记号来表示,后来就称为的范数.赋范空间的公理出现在在 1918 年关于上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在 1920到1922年间由 （1892—1945）、（1879—1934）、（1884—1943）和 （1894—1964）给出的,其中以的工作最具影响. 　 　 2.1赋范空间的基本概念 线性空间是在1888年出版的书Geometrical Calculus中引进的.在1922年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为 空间.他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了线性空间,第二组定义了范数,第三组给出了空间的完备性. 定义2.1.1 设是实数域或复数域,是数域上的线性空间,若是到 的映射,且满足下列条件： 　 且 当且仅当; ,对任意和任意 ; ,对任意 . 则称为上的范数,而称为的范数,这时称为赋范线性空间. 明显地,若为赋范线性空间,则对任意,定义时,为度量空间,但对一般的度量空间,当为线性空间时,若定义,则不一定就是上的范数. 例2.1.1数列全体,则明显地,为线性空间,对任意的, 定义 则 但 取,,则 而 因此 所以,不是上的范数. 问题2.1.1 对于线性空间上的度量, 它满足什么条件时,才能成为范数？ 　　 定理2.1.2 设是线性空间,是上的度量,在上规定,则成为赋范线性空间的条件是： (1) ,对任意 ； (2) ,对任意和任意. 　 　 下面举出赋范线性空间的一些例子. 　　 例2.1.3,是的范数, 即是赋范线性空间. 　 例2.1.4 对于,在范数 下是赋范线性空间. 例2.1.5 在范数下是赋范线性空间. 例2.1.6 在范数下是赋范线性空间. 例2.1.7 ,在范数下是赋范线性空间. 由于赋范线性空间在度量下是度量空间,因此,在度量所引入的序列收敛,开(闭)集、稠密和紧集等概念都可以在赋范线性空间中使用. 定义2.1.2 设是赋范空间, 若依度量收敛于, 即,则称依范数收敛于,记为 　　在赋范线性空间中,仍然用记以为球心,为半径的开球,用记以为球心,为半径的闭球. 为了方便,用记以0为球心,1为半径的闭单位球面. 用记以0为球心,1为半径的闭单位球. 用记以0为球心,1为半径的开单位球. 例2.1.8 在空间中,对于可以定义几种不同的范数: 则对, 闭球在不同范数下的形状为： 思考题2.1.1 设是赋范线性空间,问开球的闭包是否一定是闭? 思考题2.1.2 设是线性空间,问闭球内部是否一定是开球? 在赋范线性空间中,加法与范数都是连续的. 　 定理2.1.8 若是赋范空间,则. 证明 由可知定理成立. 　　 定理 2.1.9 若是赋范空间,,则. 证明 由和,可知 ,因此. 　 定义2.1.3 设是赋范线性空间,若时, 必有,使, 则称为完备的赋范线性空间. 根据M.的建议,完备的赋范线性空间称为空间. 不难证明,都是空间. 在数学分析中,曾讨论过数项级数,函数项级数,类似地,在赋范线性空间中,也可定义无穷级数. 定义2.1.4 设是赋范线性空间,若序列收敛于某个时,则称级数收敛,记为. 定义2.1.5 设是赋范线性空间,若数列收敛时, 则称级数绝对收敛. 在数学分析中绝对收敛的级数一定是收敛的,但在赋范空间上却不一定成立,先来看看下面一个定理. 定理2.1.10 设是赋范线性空间,则是空间的充要条件为的每一绝对收敛级数都收敛. 证明 设是空间,且绝对收敛,则由可知, 对于,有 , 因此是的列,由的完备性可知,存在使,即 反之,设的每一个绝对收敛级数都收敛,则对于的列,对,有 , 使得 因而. 由假设可知收敛于某个,即收敛,所以必收敛于,从而完备. 事实上,在实数空间中,正是由于的完备性才保证了绝对收敛级数一定是收敛的. 定义2.1.6 设是赋范