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第3章 曲线拟合的最小二乘法 曲线拟合的最小二乘问题 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS * 给出一组离散点，确定一个函数逼近原函数，插值是这样的一种手段。在实际中，数据不可避免的会有误差，插值函数会将这些误差也包括在内。 因此，我们需要一种新的逼近原函数的手段： ①不要求过所有的点（可以消除误差影响）； ②尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。 有时候，问题本身不要求构造的函数过所有的点。如：5个风景点，要修一条公路S使得S为直线，且到所有风景点的距离和最小。 先讲些预备知识 对如上2类问题，有一个共同的数学提法：找函数空间上的函数g，使得g到f的距离最小。 定义1：向量范数 映射： 满足： ①非负性 ②齐次性 ③三角不等式 称该映射为向量的一种范数 预备知识 我们定义两点的距离为： 常见的范数有： 定义2：函数f，g的关于离散点列 的离散内积为： 定义3：函数f的离散范数为 提示：该种内积，范数的定义与向量的2－范数一致 我们还可以定义函数的离散范数为： f(x)为定义在区间[a,b]上的函数， 为区间上n+1个互不相同 的点， 为给定的某一函数类。求 上的函数g(x)满足 f(x)和g(x)的距离最小 如果这种距离取为2－范数的话，称为最小二乘问题 定义 下面我们来看看最小二乘问题： 求 使得 最小 设 最小 则 即 关于系数 由于它关于系数 最小，因此有： 即 写成矩阵形式有： 法方程 由 的线性无关性，知道该方程存在唯一解 ① 第一步：函数空间的基 ，然后列出法方程 ② 第一步：函数空间的基 ，然后列出法方程 例：