第二章 线性系统的状态空间述6第二章 线性系统的状态空间描述6第二章 线性系统的状态空间描述6第二章 线性系统的状态空间描述6.ppt

线性系统理论(Linear System Theory) 第二章 线性系统状态空间描述 【例】 计算 的特征向量。 解： (1) 计算A的特征值 解得： (2) 计算 的特征向量 将 代入 中，得 则 解得： 可见， 可以取任意相等的值，使 为非零向量。例如取 ，则 同理，计算 (3) 变换矩阵 P： 对角线标准型,其中 若其特征值 为两两相异，则必有非奇异阵 为矩阵A相应于 的特征向量，即 对于线性定常系统 一、矩阵A为任意形式 将状态方程化为对角线标准型 即当矩阵A具有相异的特征根时，利用矩阵A的特征向量组成的变换矩阵P，可将矩阵A变换成对角形，且对角线上的各元素分别为A的特征值。 可将矩阵A化为 证明 P为非奇异矩阵，且 两端左乘 则 线性系统 其中 试将状态方程化为规范形式。 解： 特征值 两两相异 可化为对角线规范型 设特征向量 【例】 同理 状态方程的规范形式 给定单输入-单输出线性时不变系统的输入输出描述， 其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出： (1) 不包含输入函数 u 的各阶导数的情况 此时输入输出描述为: 算法1、由微分方程描述导出状态空间描述 ① 选取状态变量：n阶系统有且仅有n个状态变量。当给定 和 时的输入 时，系统在 时的运动就完全确定了。所以可选 为系统的一组状态变量，并令 化方程组(1)和(3) 为 的一阶微分方程组。 则 系统的输出表达式为 方程(1) 方程组(3) 方程组(3) ③ 将方程组(4)改写为向量形式，即系统的状态方程， 为此，令 则式(4)可表示为 由方程(5)得输出方程为 系统矩阵A特点：矩阵主对角线上方的第1个元素为1，最下面一行为微分方程系数的负值，其它元素全为0。这种矩阵称为友矩阵。 解：选取 则 (2) 包含输入函数导数项的情况 此时输入输出描述为: 此时这种情况不能选输出及其导数作为状态变量。因为如果把 作为状态变量，仍如式(3)所示，则状态方程为： ① 选取状态变量： 这时，状态变量中包含了输入信号的导数项，使得当输入信号出现阶跃，状态变量将是不确定的，不满足选择状态变量的要求，因此当微分方程含有输入导数项时，不能选择 作为状态变量。下面介绍一种方法： (6) ① 选取状态变量：考虑到所导出的一阶微分方程组中，等式右边不应出现的导数项，否则就可能使方程组解的存在性和唯一性被破坏。 通常可选取输出变量 y 和输入变量 u 以及其各阶导数的适当组合得到。 式中， 是n个待定系数。下面给出?i 求解方法。 则 (6) 则 (8) (7) 则 不难看出，式(9)的等式左端相加，即为式(6)的等式左边。因此，式(9)的等式右端相加，应等于式(6)的等式右端，即 (9) 整理得 (6) 对比等式 的系数 对比等式 的系数，可得 上式即为根据 和 计算 的关系式。 及 整理得 (6) ② 导出状态变量的一阶微分方程组和输出表达式。 由式(7)得 (10) (7) 输出表达式 其对应的状态空间描述为: 其中 ③ 将式(10) 写成向量形式 可见，状态矩阵的最后一行由微分方程系数决定，从低次幂系数到高次幂系数排列，并加符号。 当 时，可得 代入上式，就可得到微分方程不包含有输入导数项的情况的结果。 (10) 其实现的状态变量图如图所示 由此可得状态方程和输出方程为 其实现的状态变量图如图所示 给定单输入-单输出线性时不变系统的输入输出描述, 算法2、由输入输出描述导出状态空间描述 式中 令 式(12)代入式(11) ，有 (12) (13) (11) 为了直观起见，定义变量 如下图所示。 利用长除法，则 由图可知 (14) (15) 将式(14)反转换为微分方程 (16) 这里，定义 为系统的一个状态变量， 式(16)与式(1)的不含输入函数的导数情况相当，则相对应，状态变量的选择方法相同，则其余n-1个状态变量选为 再由式(16)，可得 另一方面，由式(11)，式(13)及式(15)，可得 将式(