第一节解析变换的特性.ppt

7.1 解析变换的特性(共形映射) 7.1.1 解析变换的保域性 7.1.2 解析变换的保角性 7.1.3 解析变换的保形性 7.1.1解析变换的保域性 7.1.2 解析变换的保角 ——导数的几何意义 * 定理7.1 (保域定理)设w=f(z)在区域D内解析且 不恒为常数,则D的象G=f(D)也是一个区域. 证 首先证明G的每一点都是内点. 设w0∈G,则有一点z0∈D,使w0=f(z0). 要证w0是G的内点,只须证明w*与w0充分接近时,w*亦属于G, 即当w*与w0 充分接近时,方程w*=f(z)在D内有解. 为此,考察 f(z)-w*=(f(z)-w0)+(w0-w*,) 由解析函数零点的孤立性,必有以z0为心的某个圆C:|z-z0|=R, 显然 f(z0)-w0=0, 使得f(z)-w0在C上及C的内部(除z0外) C及C的内部全含于D, 均不为零.因而在C上: 内的点w*及在C上的点z有 因此根据儒歇定理6.10,在C的内部 与f(z)-w0有相同零点的个数.于是w*=f(z)在D内有解. 由于D是区域,可在D内部取一条联结z1,z2的折线C:z=z(t) [t1≤t≤t2,z(t1)=z1,z(t2)=z2].于是： 就是联结w1,w2的并且完全含于D的一条曲线. 从而,参照柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到 对在邻域 其次,要证明G中任意两点w1=f(z1),w2=f(z2)均可以用一条完全含于G的折线联结起来. 一条连接w1,w2,内接于? 且完全含于G的折线?1 证: 因f(z)在区域D内单叶,必f(z)在D内不恒为常数. 总结以上两点,即知G=f(D)是区域. 定理7.2 设w=f(z)在区域D内单叶解析,则D的象G=f(D)也是一个区域. 注 定理7.1可以推广成这样的形式:“w=f(z)在扩充z平面的区域D内除可能有极点外处处解析,且不恒为常数,则D的象G=f(D)为扩充z平面上的区域. 结合定理7.2,合本定理条件的解析变换w=f(z)将z0的一个充分小的邻域内变成w0=f(z0)的一个曲边邻域. 定理7.3 设函数w=f(z)在点z0解析,且f ?(z0)≠0,则f(z)在z0的一个邻域内单叶解析. 设w=f(z)于区域D内解析,z0∈D,在点z0有导数 通过z0任意引一条有向光滑曲线 C:z=z(t)(t0≤t≤t1),z0=z(t0). 因此C在z0有切线, 就是切向量, 经变换w=f(z) 的参数方程应为 则 且 必存在 它的倾角为 C x 0 y z w=f(z) u v 0 w z0 w0 ? C之象曲线 C x 0 y z z0 z0+?z 图7.1 由定理7.3及第三章习题(一)13, 在点w0=w(t0)的邻域内 w=f(z) 是光滑的.又由于 故? 在w0=f(z0)也有, u v 0 w w0 ? w0+?w 设其倾角为??，则 且 就是切向量, 切线 (7.2)说明:象点间无穷小距离与原象点间的 如果我们假定x轴与u轴,y轴与v轴的正方向相同,而且将原曲线切线的正方向与变换后象曲线的切线正方向间的夹角,理解为原曲线经过变换后的旋转角,则： (7.1)说明:象曲线 在点w0=f(z0)的切线正向,可由原曲线C在点z0的切线正向旋转一个角度argf’(z0)得出：argf’(z0)仅与z0有关,而与经过Z0的曲线C的选择无关,称为变换w=f(z)在点z0的旋转角 ——导数辐 角的几何意义. 无穷小距离之比的极限是R=|f’(z0)|,它仅与 z0有关,而与过z0的曲线C之方向无关,称为 变换w=f(z)在点z0的伸缩率.这也就是导数模 的几何意义. 上面提到的旋转角与C的选择无关的这个 性质,称为旋转角不变性;伸缩率与C的方向无关 这个性质,称为伸缩率不变性. 从几何意义上看:如果忽略高阶无穷小,伸缩 率不变性就表示w=f(z)将z=z0处无穷小的圆5变 成w=w0处的无穷小的圆,其半径之比为|f’(z)|. 上面的讨论说明:解析函数在导数不为零的 地方具有旋转角不变性与伸缩率不变性. 经点z0的两条有向曲线C1,C2的切线方向 所构成的角称为两曲线在该点的夹角. 定义7.1 若函数w=f(z)在点z0的邻域内有 定义,且在点z0具有: (1)伸缩率不变性; (2)过z0的任意两曲线的 夹角在变换w=f(z) 下,又保持方向; 则称函数w=f(z)在点z0是保角的.或称w=f(z)在 点z0是保角变换.如果w=f(z)在区域D内处处都 是保角的,则称w=f(z)在区域D内是保角的,或 称w=f(z)在区域D内是保角变换.