第二章-4(拉普拉斯变换)二章-4(拉普拉斯变换)第二章-4(拉普拉斯变换)第二章-4(拉普拉斯变换).ppt

第三节 连续信号的拉普拉斯变换分析 拉普拉斯变换 从傅立叶变换到拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的收敛域 拉普拉斯变换的性质 常用信号的拉普拉斯变换 拉普拉斯反变换 单边拉普拉斯变换 信号的复频域分析 拉普拉斯变换的几何表示 拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系 由零极点图对傅立叶变换进行几何求解 一、拉普拉斯变换1、从傅立叶变换到拉普拉斯变换 有几种情况不满足狄里赫利条件： 指数增长信号 功率型周期信号 若乘一衰减因子 为任意实数，则 收敛，满足狄里赫利条件 2、拉普拉斯变换的收敛域 为指数型衰减因子，它至多能使指数增长型函数满足绝对可积条件，或满足 (2-111) 有些函数，如 、 等，它们随t的增长速率比 的衰减速度快，这些函数乘上衰减因子后仍不满足绝对可积条件，它们的拉普拉斯变换便不存在. 即使是乘上衰减因子后能满足绝对可积条件，也存在一个σ的取值问题。 2、拉普拉斯变换的收敛域 乘上衰减因子后， 能否满足绝对可积条件 取决于信号x(t)的性质，也取决于σ的取值。把能使信号的拉普拉斯变换Xb(s)存在的s值的范围称为信号x(t)的拉普拉斯变换的收敛域，记为ROC。 双边拉氏变换收敛域 例1：求右边信号 的拉普拉斯变换及其收敛域。 解： 由拉普拉斯变换定义式可知 上式积分只有在σ－1时收敛，这时 收敛域表示在以σ轴为横轴、 jω轴为纵轴的平面上. 2、拉普拉斯变换的收敛域 连续信号x(t)的拉普拉斯变换的收敛域的边界是s平面上平行于jω轴的直线。 右边信号x(t)u(t-t0)的拉普拉斯变换如果存在，则其收敛域具有σσ0形式，即收敛域具有左边界σ0 。 左边信号x(t)u(-t+t0)的拉普拉斯变换如果存在，则其收敛域具有右边界σ0 。 双边信号的拉普拉斯变换如果存在，则其收敛域必为平面上具有左边界和右边界的带状区域。 如果时限信号的拉普拉斯变换存在，则其收敛域必为整个s平面。 3、拉氏变换的基本性质（1） 频移 3、拉氏变换的基本性质（2） 初值定理 例：周期信号的拉氏变换 4、常用信号的拉氏变换 5、拉普拉斯反变换 部分分式法：将Xb(s)展开为部分分式，再求解x(t) 留数法 例：求 所对应的信号。 解：对Xb(s)进行部分分式展开，得 6、单边拉普拉斯变换 实际信号一般都有初始时刻，不妨把初始时刻设为坐标原点，通常大家关心的信号都是 的因果信号 称为信号x(t)的单边拉普拉斯变换 6、单边拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换只考虑信号 区间，与t0区间的信号是否存在或取什么值无关，因此，对于在t0区间内不同，而在区间 内相同的两个信号，会有相同的单边拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换具有 的收敛域。由于单边拉普拉斯变换的收敛域单值，所以在研究信号的单边拉普拉斯变换时，把它的收敛域视为变换式已包含了，一般不再另外强调。 信号的单边拉普拉斯变换可看成信号x(t)u(t)的双边拉普拉斯变换，可以用下式求出x(t)u(t) ： 式中的X(s)为单边拉普拉斯，称上式为单边拉普拉斯反变换. 单边拉普拉斯变换除时域微分和时域积分外，绝大部分性质与双边拉普拉斯变换相同，不再象双边拉普拉斯变换那样去强调收敛域。 6、单边拉普拉斯变换 －初值定理和终值定理 初值定理：对于在t=0处不包含冲激及各阶导数的因果信号x(t)，若其单边拉普拉斯变换为X(s)，则x(t)的初值x(0+)可由下式得到 终值定理：对于满足以上条件因果信号x(t)，若其终值x(∞)存在，则它可由下式得到 二、信号的复频域分析 拉普拉斯变换的几何表示 拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系 由零极点图对傅立叶变换进行几何求解 1、拉普拉斯变换的几何表示 如果信号x(t)是实指数或复指数信号的线性组合，则其拉普拉斯变换可表示为 如果N(s)为Xb(s)的m次分子多项式，有m个根zj，D(s)为n次分母多项式，有n个根pi 1、拉普拉斯变换的几何表示 零极点图：如果在s平面上分别以“。”和“×”标出Xb(s)的零点和极点的位置，就得出的Xb(s)零极点图。 在的零极点图中，标出了Xb(s)的收敛域后，就构成