第二章拉普拉斯变换第二章拉拉斯变换普拉斯变换.ppt

bvcbvc 2.2 拉普拉斯变换 常用信号的单边拉普拉斯变换 Laplace变换的性质 线性性质（齐次可加性） 时移（延时）特性 位移特性 时域微分特性（微分定理） 时域积分特性（积分定理） 卷积定理 终值定理 初值定理 一、线性（叠加、比例定理） Example 1 Example 2 Example 3 Example 4 应用Laplace变换的性质计算 说明： 初始条件： 八、初值定理 Laplace逆变换 方法 有理分式的Laplace逆变换 极点在复平面上的分布 F(s)有单实极点 F(s)有共轭单极点 F(s)有重极点 解法1 解法2 例:　 2. F(s)有单共轭单极点 例:　 3.F(s)有重极点 　 f(t) -- F(s) 实极点之一 实极点之二 传递函数的性质 性质4 如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。 性质5 如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)可以给出该系统动态特性的完整描述，与其它物理描述不同。 传递函数数学模型 是（表示）输出变量和输入变量微分方程的运算模型（operational mode） 性质6 传递函数与微分方程之间有关系。 性质7 传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t) g(t)是系统在单位脉冲输入时的输出响应。 前一页 后一页 解 A(s)=S3 + 3S2 + 2S ==s1=0,s2=-1,s3=-2 前一页 后一页 F(s)有一对共轭单极点S1,2=-??j?,则: A’(s),B(s)为s的实系数多项式 前一页 后一页 前一页 后一页 解 令A(s)=0 前一页 后一页 前一页 后一页 F(s)在S=S1处有r重极点， 前一页 后一页 f(t)由F(s)的极点,零点所确定 前一页 后一页 左半S平面的共轭极点对应衰减的振荡,右半S平面的共轭极点对应增长的振荡, 虚轴上的共轭极点对应时间函数为等幅振荡 实轴上的极点对应时间函数按极点的阶数不同,具有e-at, te-at,…的函数形式 前一页 后一页 ? jw 1/s 1/s2 1/s3 ?(t) t2?(t) t?(t) 0 t ?(t) 1 0 t t?(t) 0 t t2?(t) 1 前一页 后一页 ? jw 1/(s+a) a0 e-at?(t) 0 t 0 t 1 1/(s-a) a0 -a eat?(t) ? jw a 虚轴上的共轭极点 前一页 后一页 ? jw jw0 -jw0 ? jw jw0 -jw0 t t 左、右半S平面的共轭极点 前一页 后一页 ? jw jw0 -jw0 -a ? jw jw0 -jw0 a ? jw jw0 -jw0 -a t t t 拉普拉斯变换在控制工程中的应用 复频域分析法:利用拉氏变换分析系统. 前一页 后一页 求解微分方程 微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。 用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型－传递函数。 求传递函数 {x(0)} y(t) f(t) 前一页 后一页 y(t)=T[f(t)]微分方程 y(t) 拉氏变换 Y(s)=N[F(s)]代数方程 Y(s)表达式 拉氏反变换 初始条件 一、微分方程的变换解 例: 解: 前一页 后一页 求全响应y(t) 前一页 后一页 前一页 后一页 自由响应 强迫响应 由系统的特征根(固有频率)确定 自由响应: 强迫响应: 由F(s)的极点确定,所以与f(t)的函数形式确定 Re[Si]0,瞬态响应 稳态响应 前一页 后一页 f(t)因果函数 A(S) B(S) 二、传递（系统）函数 若初始条件为零 ?(t)?1 == g(t) ?G(s) G(s)如何计算? 1)根据定义,由微分方程入手 2)g(t)---G(s) 前一页 后一页 微分算符用s来表示 性质1 传递函数是复变量s的有理真分式函数，mn，且所具有复变量函数的所有性质。 性质2 G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。 性质3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。 如果将 置换 * 实际为f(t)1(t) = f(t)=0 t0 简写为: f(t) -- F(s) 单边拉普拉斯变换对,只适用于因果系统 前一页 后一页 1)1(t) 2)e-at 前一页 后一页 前一页 后一页 3)tn(n为整数) 4)脉冲函数 =1 5)