第九章 欧几里得空间第九章欧几里得空间第九章 欧几里得空间第九章 欧几里得空间.ppt

§1. 定义与基本性质 “夹角”概念的引入： 几个重要的不等式： 在有限维欧氏空间中讨论： 度量矩阵的性质： §2.标准正交基 §3. 同构 §4.正交变换 §5. 子空间 §6.实对称矩阵的标准形 给定一个实对称矩阵A,如何求定理7 中的正交矩阵T ? 1.求出A的特征值,设 使A的全部不同的 特征值. 2.对于每个 ,解齐次线性方程组 东北大学秦皇岛分校 高等代数 第九章 欧几里得空间 线性空间 向量(元素)的加法和数量乘法 向量的加法和数量乘法 长度,夹角等度量性质 几何空间 抽象 在几何空间中: 向量的长度: 非零向量的夹角: 定义 1 设 是实数域 上的线性空间，在 中定义了 一个二元实函数,称为内积,记作 ,它具有以下性质: 1) ； 2) ； 3) ； 4) ，当且仅当 时, , 其中 是 中任意的向量, 是任意实数,这样的线性空间 称为欧几里得空间，简称为欧氏空间. 1）几何空间中向量的全体，按照向量的内积； 2）线性空间 ，定义 几个常见的欧氏空间： 其中 3） ：闭区间[a,b]所有实连续函数的全体。定义 定义 2 非负实数 称为向量 的长度,记为 . 在几何空间中: 向量的长度: “长度”概念的引入： 说明： 1）除了零向量的长度为零以外，向量的长度为正； 2）长度满足性质： 3）长度为1的向量称为单位向量，任意非零向量 对应 单位向量 ，称为 的单位化。 几何空间中: 非零向量的夹角: 在欧氏空间中能否类似定义？ 柯西－布涅柯夫斯基不等式： 当且仅当 线性相关时，等号才成立. 对任意的向量 ， 定义 3 非零向量 的夹角 规定为： 1）柯西不等式 2）施瓦兹不等式 3）三角不等式 定义 4 如果向量 的内积为零，即 那么 称为正交或互相垂直，记为 这与解析几何中正交的说法一致，且两个非零向量正交 当且仅当它们的夹角为 。 显然，只有零向量才与自己正交。 勾股定理： 如果向量 两两正交，则有 设 是 维欧氏空间， 是 上的一组基， 称矩阵 为基 的度量矩阵，其中 ， 即 显然，度量矩阵是对称矩阵。 1）度量矩阵完全确定了内积，即对于任意的向量 ，若 则有 其中 2）不同基下的度量矩阵合同。 3）度量矩阵是正定矩阵。 定义 5 欧氏空间 中一组非零的向量, 如果它们两两正 交, 就称为一组正交向量组. 性质:正交向量组是线性无关的. 实例:几何空间 从而，在n维欧氏空间中，两两正交的非零向量不会超过n个。 定义 6 在 n 维欧氏空间中, 由n 个 向量组成的正交向量组称为正交基;由单位向量组成的正 交基称为标准正交基. 性质: 1) 一组基是标准正交基当且仅当其度量矩阵为单位矩阵; 2) 任意一个欧氏空间存在标准正交基. 用处: 表达向量的坐标和内积。 定理 1 在 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基. 如何求标准正交基呢? 证明过程实际就是直接求欧氏空间上的正交基的方法. 正交基 标准正交基 单位化 已知欧氏空间上的一组基, 如何求正交基? 定理 2 对于 n 维欧氏空间中任意一 组基 ,都可以找到一组标准正交基 上面等式说明，这两组基之间的过渡矩阵是上三角矩阵。 施密特(Schimidt)正交化过程: 线性无关的向量组 单位正交向量组 正交化: 单位化: 例 把 变成单位正交的向量组. 标准正交基之间的基变换公式: 设 与 是欧氏空间V 中 的两组标准正交基,它们之间的过渡矩阵是 ,即 定义 7 如果如果 级实矩阵 满足 ，则称 为正交矩阵. 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是 正交矩阵; 若两组基之间的过渡矩阵是正交矩阵，且其中 一组基是标准正交基，则另一组基也是标准正交基. 定义 8 实数域 上欧氏空间 与 , 如果存在由 到 的一个双射 ,且对任意的 ,满足 则称 与