第九章-拉普拉斯变换第九章拉普拉斯变换第九章-拉普拉斯变换第九章-拉普拉斯变换.ppt

96 第9章 拉普拉斯变换 THE LAPLACE TRANSFORM 9.0 引言 一.双边拉氏变换的定义： 二. 拉氏变换的ROC及零极点图： 9.2 拉氏变换的收敛域 * 96 4. 双边拉普拉斯变换的性质； 1. 双边拉普拉斯变换与反变换； 2. 双边拉普拉斯变换的收敛域； 5. 单边拉普拉斯变换； 3. 零极点图； 本章内容对应于教材第9章9.1-9.6节，以及9.9节。9.7-9.8节关于LTI系统分析内容将在LTI系统分析部分集中讲述。 傅里叶变换是以复指数函数的特例 　 和 为基本分解信号。对更一般的复指数函数 和 ，也能以此为基本信号对信号进行分解。 复指数函数是一切LTI系统的特征函数。相当广泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组合 将连续时间傅里叶变换推广到更一般的情况（拉普拉斯变换）就是本章要讨论的中心问题。 拉氏变换具有很多与傅氏变换相同的性质，不仅能解决用傅氏分析方法可以解决的信号与系统分析问题，还能用于傅里叶分析方法不适用的许多 问题。拉普拉斯分析是傅里叶分析的推广，傅里叶分析是拉普拉斯分析的特例。 其中 若 ， 则有: 这就是 的傅里叶变换。 连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换 在 (s平面的 轴)上的特例。 FT: 实频率， 是振荡频率 LT: 复频率 ， 是振荡频率， 控制衰减速度 9.1 拉普拉斯变换 s 平面 拉氏变换是对傅里叶变换的推广， 　 的拉氏变换就是 的傅里叶变换。只要有合适的 存在，就可以使本来不满足狄里赫利条件的信号在引入 后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。 不满足狄里赫利条件的信号 u(t) 增长信号 乘一衰减因子 后收敛 96 例1. 当 时， 的傅里叶变换存在: 在 时，积分收敛： 拉氏变换收敛的区域为 ，包括了 轴。 比较 和 , 有: 当 时， 收敛域不包含 轴，所以不能得出u(t)的傅里叶变换为 例2. 与例1.比较，区别仅在于收敛域不同。 在 时，积分收敛： 几点结论： 1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非任何信号的拉氏变换都存在，也不是 s 平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。 2. 使拉氏变换积分收敛的那些复数 s的集合，称为拉氏变换的收敛域 (ROC) 。收敛域对拉氏变换是非常重要的概念。 3.不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的收敛域不同。只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才能和信号建立一一对应的关系。 4. 如果一个信号的拉氏变换的ROC包含 轴，则信号的傅里叶变换也存在，并且： 例3. 可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分。ROC总是以平行于 轴的直线作为边界的，ROC的边界总是与 的分母的根(极点)相对应。 极点 零点 分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称为极点。 将 的全部零点和极点表示在S平面上，就构成了零极点图。零极点图及其收敛域可以表示一个 ，最多与真实的 相差一个常数因子 。 因此，零极点图是拉氏变换的图示方法。 若 是有理函数 2. 在ROC内无任何极点。 1. ROC是 s 平面上平行于 轴的带形区域。 4. 右边信号的ROC位于s平面内一条平行于 轴的直线的右边。 5. 左边信号的ROC位于s平面内一条平行于 轴的 直线的左边。 3. 时限信号的ROC是整个 s 平面。 6. 双边信号的ROC如果存在，一定是 s 平面内平行于 轴的带形区域。 若 ，则 表明 也在收敛域内。 若 是右边信号, , 在ROC内，则有 绝对可积，即： 性质4的证明： 例1. 考查零点，令 有极点 显然 在 也有一阶零点，由于零极点相抵消，致使在整个S平面上无极点。 得 （k为整数） 96 当 时，上述ROC有公共部分， 当 时，上述 ROC 无公共部分，表明 不存在。 例2. 当 是有理函数时，