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第五章 离散傅里叶变换 1 离散傅里叶变换(DFT)的推导 时域抽样： 目的：解决信号的离散化问题。 效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。 时域截断： 原因：工程上无法处理时间无限信号。 方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。 结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。 时域周期延拓： 目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。 方法：周期延拓中的搬移通过与的卷积来实现。 表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。 结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。 经抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。过程见图1。 图1 DFT推导过程示意图 处理后信号的连续时间傅里叶变换： 是离散函数，仅在离散频率点处存在冲激，强度为，其余各点为0。 是周期函数，周期为，每个周期内有个不同的幅值。 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。 2 DFT及IDFT的定义 DFT定义：设是连续函数的个抽样值，这N个点的宽度为N的DFT为： IDFT定义：设是连续频率函数的个抽样值， 这N个点的宽度为N的IDFT为： 称为N点DFT的变换核函数，称为N点IDFT的变换核函数。它们互为共轭。 同样的信号，宽度不同的DFT会有不同的结果。DFT正逆变换的对应关系是唯一的，或者说它们是互逆的。 引入 用途： 正逆变换的核函数分别可以表示为和。 核函数的正交性可以表示为： DFT可以表示为： IDFT可以表示为： 性质：周期性和对称性： 3 离散谱的性质 离散谱定义：称为离散序列的DFT离散谱，简称离散谱。 性质： 周期性：序列的N点的DFT离散谱是周期为N的序列。 共扼对称性：如果为实序列，则其N点的DFT关于原点和N/2都具有共轭对称性。即；； 幅度对称性：如果为实序列，则其N点的DFT关于原点和N/2都具有幅度对称性。即；； 改写： 简记为 简记为 DFT对简记为：或 4 DFT总结 DFT的定义是针对任意的离散序列中的有限个离散抽样的，它并不要求该序列具有周期性。 由DFT求出的离散谱是离散的周期函数，周期为、离散间隔为。离散谱关于变元k的周期为N。 如果称离散谱经过IDFT所得到的序列为重建信号，，则重建信号是离散的周期函数，周期为(对应离散谱的离散间隔的倒数)、离散间隔为(对应离散谱周期的倒数)。 经IDFT重建信号的基频就是频域的离散间隔，或时域周期的倒数，为。 实序列的离散谱关于原点和(如果N是偶数)是共轭对称和幅度对称的。因此，真正有用的频谱信息可以从0~范围获得，从低频到高频。 在时域和频域范围内的N点分别是各自的主值区间或主值周期。 5 DFT性质 线性性：对任意常数 ()，有 奇偶虚实性： DFT的反褶、平移：先把有限长序列周期延拓，再作相应反褶或平移，最后取主值区间的序列作为最终结果。 DFT有如下的奇偶虚实特性： 奇奇；偶偶；实偶实偶；实奇虚奇； 实 (实偶) + j(实奇)；实 (实偶)·EXP(实奇)。 反褶和共轭性： 时域 频域 反褶 反褶 共轭 共轭＋反褶 共轭＋反褶 共轭 对偶性： 把离散谱序列当成时域序列进行DFT，结果是原时域序列反褶的N倍； 如果原序列具有偶对称性，则DFT结果是原时域序列的N倍。 时移性：。序列的时移不影响DFT离散谱的幅度。 频移性： 时域离散圆卷积定理： 圆卷积：周期均为N的序列与之间的圆卷积为 仍是n的序列，周期为N。 非周期序列之间只可能存在线卷积，不存在圆卷积；周期序列之间存在圆卷积，但不存在线卷积。 频域离散圆卷积定理： 时域离散圆相关定理： 周期为N的序列和的圆相关： 是n的序列，周期为N。 。其中表示按k进行DFT运算。 帕斯瓦尔定理：