第三讲 不等式证明方法讲义三讲 不等式证明方法讲义第三讲 不等式证明方法讲义第三讲 不等式证明方法讲义.doc

第三讲 不等式的证明方法 一、比较法 1. 求证：x2 + 3 3x 2. 已知a, b, m都是正数，并且a b，求证： 变式：若a b，结果会怎样？若没有“a b”这个条件，应如何判断？ 3. 已知a, b都是正数，并且a ( b，求证：a5 + b5 a2b3 + a3b2 4. 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m ( n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？ 作商法 1.设a, b ( R+，求证： 二、综合法 1．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法 2．用综合法证明不等式的逻辑关系是： 3．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法 例1 已知a，b，c是不全相等的正数，求证： 例2 已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列， 求证： 练习： 设a, b, c ( R，（1）求证： 求证： 若a + b = 1, 求证： a , b, c(R, 求证：（1） （3） 三、分析法 1分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法 2．用分析法证明不等式的逻辑关系是： 3．分析法的思维特点是：执果索因 4．分析法的书写格式： 要证明命题B为真， 只需要证明命题为真，从而有…… 这只需要证明命题为真，从而又有…… …… 这只需要证明命题A为真 而已知A为真，故命题B必为真 例1 求证 例2 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大 练习： 已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤ 2 选择题 (1)设x1和x2是方程x2+px+4=0的两个不相等的实数根,则（ ） A|x1|2且|x2|2 B|x1+x2|4 C|x1+x2|4 D|x1|=4且|x2|=1 答案:B (2)若x,y∈R+,且x≠y,则下列四个数中最小的一个是（ ） A B C D (3)若x0,y0,且≤a成立,则a的最小值是（ ） A B C2 D2 (4)设a,b∈R+,且ab-a-b≥1,则有（ ） Aa+b≥2(+1) Ba+b≤+1 Ca+b≥(+1)2 Da+b≤2(+1) 2用分析法证明: 3(1+a2+a4)≥(1+a+a2)2 3用分析法证明: ab+cd≤ 4用分析法证明下列不等式: (1)求证: (2)求证:(x≥4) (3)求证:a,b,c∈R+,求证: 5 若a,b0,2ca+b,求证: (1)c2ab （2）c-ac+ 6 已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0,有两个实数根α,β,证明: (1)如果|α|2,|β|2,那么2|α|4+b且|b|4 (2)如果2|α|4+b且|b|4,那么|α|2,|β|2 四、放缩法与反证法 例1若a, b, c, d(R+，求证： 例2 求证： 例3 设0 a, b, c 1，求证：(1 ( a)b, (1 ( b)c, (1 ( c)a,不可能同时大于 例4 已知a + b + c 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求证：a, b, c 0 练习 设x 0, y 0,, ，求证：a b 若a b c, 则 已知a, b, c 0, 且a2 + b2 = c2，求证：an + bn cn (n≥3, n(R*) 6．设0 a, b, c 2，求证：(2 ( a)c, (2 ( b)a, (2 ( c)b,不可能同时大于1 若x, y 0，且x + y 2，则和中至少有一个小于2 五、构造法 例1已知x 0，求证： 例2 求证： 例3 已知实数a, b, c，满足a