数理方程课件3-1数理方程件3-1课件3-1.ppt

二阶常微分方程的级数解法本征值问题 李莉 lili66@bupt.edu.cn §3-1 二阶常微分方程的级数解法 二阶线性常微分方程 为具一般性，设变数x是复变数，p(x)，q(x)，y(x)为复变函数。 p(x)和q(x)称为方程的系数。 方程的解完全由方程的系数决定 方程解的解析性完全由方程系数的解析性决定 用级数解法解常微分方程时，得到的解总是某一指定点 的邻域内收敛的无穷级数。方程系数p(x)，q(x)在 点的解析性就决定了级数解在 点的解析性，或者说，决定了级数解的形式，例如是泰勒级数还是罗朗级数。 二阶线性常微分方程的常点和奇点 如果p(x)，q(x)在 点解析，则称 为方程的常点； 如果p(x)，q(x)中至少有一个在 点不解析，则称 为方程的奇点； 例1：超几何方程 系数是： 在有限远处，p(x)，q(x)有两个奇点：x=0和x=1。所以，除了x=0和x=1是超几何方程的奇点外，有限远处的其它点都是方程的常点。 例2： 勒让德方程 在有限远处的奇点为： 方程常点邻域内的级数解法 定理 如果p(x)，q(x)在圆 内解析，则在此圆内常微分方程初值问题 存在唯一的解y(x)，并且y(x)在此圆内单值解析。 根据这个定理，可以把y(x)在 点的邻域 内展开为泰勒级数 将这个形式的级数解代入微分方程，比较系数，就可以求出系数 。 系数 均可用 ， 表示。 设方程的解为 将 和 也展开为泰勒级数： 代入方程 有： 由 上式可化为： 上式可化为： 由幂级数的乘法： 比较等式两边 同次幂的系数有： 由此可知 可以由初值 以及 表示出来，如： 以此类推，可求出全部系数 ，从而得到方程的级数解。 例3：在 的邻域内求解常微分方程 解： 这里 设解为 则 把以上结果代入方程，比较系数得： 由此可得系数的递推公式： 得到： 于是方程的级数解为： 通过这个实例，可以看出在常点邻域内求级数解的一般步骤： 将相同幂次项的系数归并，比较系数，得到系数之间的递推关系； 反复利用递推关系，求出系数 的普遍表达式（用 和 表示），从而最后得出级数解。 将（方程常点邻域内的）解展开为泰勒级数，代入微分方程； 求勒让德方程 在x=0点邻域内的解，其中l是一个参数。 解：x=0是方程的常点，根据定理，可知解的形式为： 根据上式求出： 代入方程中，有： 整理合并，得到 根据泰勒展开的唯一性，可得： 即 这样就得到了系数之间的递推关系。反复利用递推关系，就可以求得系数。 由递推公式 得： 这样得到l阶Legendre方程的级数解 其中 现在确定 和 的收敛半径。 说明 和 在|x|1内收敛，在|x|1处发散。 在 处， 和 可表示成常数项级数： 由Gauss判别法，对 ，有 对 ，有 可知级数 与 均发散。即方程级数解在x=1和x=-1为无限值。 勒让德多项式 在实际应用中，遇到勒让德方程时，往往还附有边界条件：要求在 处收敛（实际问题中， ， 是球坐标中角度， ）。勒让德方程的两个无限级数形式解均不满足这个条件。 注意：勒让德方程还有一个参数l。如果l取某些特定的值，则可能找到满足以上边界条件的解。 考察递推公式 只要l是个整数，则当k=l时，由系数 开始，以后的系数均为零。级数便截止于l项，退化为l次多项式，解就可能满足边界条件。这样得到的多项式，称为l阶勒让德多项式。 当 （n=0,1,2...）时， 此时 称为2n阶勒让德多项式。 在以上通解中取 ，则解成为： 再取 ，使 ，可得： 此时 称为2n+1阶勒让德多项式。 在以上通解中取 ，则解成为： 再取