数理方程课件2-1数理方程件2-1课件2-1.ppt

**例2：求解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为 解：由题意即求定解问题 设 代入方程，分离变量得 本征值问题： 分三种情况讨论 (1) 当 时，方程通解为： 代入边界条件得： 解得 所以舍去 (2) 当 时，方程通解为： 代入边界条件得：A=0 ，得特解： 由此可见，当边界条件为第二类边界条件时， 是一个本征值。 相应的本征函数是 （常数）。 (3) 当 时，方程通解是： 代入边界条件得：D=0， 即： 相应的本征函数为： 综合(2)、(3)两种情况，得到本问题的本征值和本征函数分别为 本征值问题： 将 代入 于是，原方程满足边界条件的一般解为： 其中 将这些解叠加起来，得到： 解得： 由初始条件 由Fourier余弦展开定理，有 原定解问题的解为： 得： 总结： 直接使用分离变量法的前提：齐次方程，齐次边界条件 分离变量法基本步骤： 分离变量：将偏微分方程问题转化为常微分方程问题 解本征值问题：确定本征值和本征函数 解余下的常微分方程，得到特解，并将所有特解叠加为一般解 利用初始条件确定一般解中的待定常数 边界条件不同，本征值和本征函数不同 分离变量法 李莉 lili66@bupt.edu.cn 物理学、力学、工程科学甚至经济和社会科学中等许多问题都可以归结为偏微分方程的定解问题。第一章中我们讨论了怎样将一个物理问题表达为定解问题，这一章以及以下几章的任务是怎样去求解这些定解问题，也就是说在已经列出方程和定解条件之后，怎样去求既满足方程又满足定解条件的解. 从微积分学得知，在计算诸如多元函数的微分和积分（重积分等）时总是把它们转化为单元函数的相应问题来解决，与此类似，求解偏微分方程的定解问题也可以设法把它们转化为常微分方程的定解问题来求解。分离变量法就是这样一种常用的转化方法。在这一章中，我们将通过一些实例，讨论分离变量法及其应用。 定解问题：两端固定弦的自由振动 我们希望求得的特解具有分离变量的形式，即： 将它代入方程，得： 定解条件为： 方程为： 边界条件 初始条件 §2.1 (1+1)维齐次方程的分离变量法 §2.1.1 有界弦的自由振动 等式两端同除以 得： 令其等于常数 则有： 将 代入边界条件： 得： 这时必须有： 到此完成 第一步 ：分离变量 ——常微分方程 条件：偏微分方程和边界条件都是齐次的 函数的常微分方程定解问题 特点：1. 微分方程中含有待定常数 2. 定解条件是一对齐次边界条件 只有当 取某些特定值时，才有既满足齐次常微分方程，又 满足齐次边界条件的非零解 的这些特定值称为本征值 相应的非零解称为本征函数 函数 的常微分方程定解问题，称为本征值（固有值）问题 第二步 ：求解本征值问题 1） 微分方程的通解是: 将边界条件代入，可得： 这说明 时微分方程只有零解，不合理。因此舍去。 微分方程的通解是: 将边界条件代入，可得： ， 2） 因此舍去。 微分方程的通解是: 将边界条件代入，可得： 因为 故必有 求得本征值为： 相应的本征函数： 3） 第三步：求特解，并叠加出一般解 对于每一个本征值 ， 由方程： 可求出相应的 ： 代入 ，得到： 这样的特解有无穷多个 每一个特解都满足齐次偏微分方程和齐次边界条件 一般无法满足初始条件 即一般无法找到常数 和 ，满足 由线形叠加原理可知，偏微分方程和边界条件都是齐次的，把任意有限个特解叠加起来，仍然满足齐次方程和齐次边界条件的解。 把全部无穷多个特解叠加起来： 问题：如何确定一般解中的叠加系数 和 ？ 一般解 若级数收敛，则仍满足齐次方程和齐次边界条件。 第四步 利用广义傅里叶级数展开式，确定待定系数 复习傅里叶级数： 如果函数是定义在 上的周期为 的周期函数 ，且是分段光滑的，则可展开为： 其中级数系数的计算公式为： 为奇函数： 为偶函数： 非零初始条件： （I） （II） 与广义傅里叶级数形式