数列的实际应用.ppt

* * * 知识要点 数列的实际应用 解题导引 1、解决数列的应用问题必须准确探索问题所涉及的数列类型(如等差数列、等比数列，或与等差、等比数列有关的数列)，或准确定义问题中的数列． 解题导引 2、求出数列的通项公式或建立递推公式： ①如果问题所涉及的数列是特殊数列(如等差数列、等比数列，或与等差、等比有关的数列，等等)应用首先建立数列的通项公式． ②如果问题所涉及的数列不是某种特殊数列，一般应考虑先建立数列的递推判断(即an与an–1的关系． 解题导引 3、解决数列的应用问题必须准确计算项数(年数)，例如与“年数”有关的问题，必须确定起算的年份，而且应准确定义an是表示“第n年”还是“n年后”． 典型题选讲 【例1】某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30％的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息，若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？ 典型题选讲 解析：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列。 ①甲方案获得:1+(1+30%)+…+（1+30%)9 = ≈42.63（万元） 银行贷款本息：10(1+5%)10≈16.29（万元） 故甲方案纯利：42.63-16.29=26.34（万元） 典型题选讲 解析：②乙方案获得：1+（1+0.5）+（1+2×0.5）+…+（1+9×0.5）=10×1+45×0.5=32.50（万元） 银行本息和：1.05×[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+ （1+5%)9]=1.05× ≈13.21（万元） 故乙方案纯利：32.50-13.21=19.29（万元）； 综上，甲方案更好。 点评：例1是比较简单的数列应用问题，由于问题所涉及的数列是熟悉的等比数列与等差数列，因此只是建立通项公式并运用所学过的公式求解。 典型题选讲 【例2】某地现在耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？(精确到1公顷) (粮食单产= 人均粮食占有量= ) 典型题选讲 解：在问题中，人口增长为等比数列，而土地减少成等差数列，设耕地每年至多只能减少x公顷，且该地区现在人口p，粮食单产为M吨/公顷。 ∴10年后粮食单产m（1+22%），耕地为104-10x 人口为p×(1+1%)10据题意得 典型题选讲 故每年至多只能减少耕地4公顷。 点评：例2是等差数列与等比数列的混合问题，只需要根据公式直接建立关系求解。 典型题选讲 【例3】某鱼场2010年初养的鱼，到第二年初重量增长率为200％，以后每年的重量增长率都是前一年增长率的一半，由于某种原因，每年损失预计重量的10％，那么，到哪一年的年初鱼的重量开始减少？ 典型题选讲 解：鱼的重量是一个较复杂的数列，应建立相邻两年鱼重的递推关系。设从2010年初开始计算n年后的年初的鱼重为an,2010年初养的鱼重为a0，由条件知: 典型题选讲 故到2015年年初鱼的重量开始减少。 点评：建立数列的递推关系是解决数列应用问题的重要方法，注意在例3中，由于设了2010年初养的鱼为a0，则定义an为n年后的鱼的重量比较好。 典型题选讲 【例4】某地区森林原有木材存量为a，且每年增长率为25％，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设为年后该地区森林木材的存量an， （1）求an的表达式； （2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每 年的森林木材存量不少于 ，如果 ，那 么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据： ） 典型题选讲 解：（1）设第一年的森林的木材存量为a1，第n年后的森林的木材存量为an，则 典型题选讲 （2）当 时，有 得 即 ， 所以 ， ． 答：经过8年后该地区就开始水土流失．