数列专题——数列与不等式(人)数列专题——数列与不等式(本人)数列专题——数列与不等式(本人)数列专题——数列与不等式(本人).doc

数列专题—— 数列与不等式 数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数列的前n项和问题，对于这种问题，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题．主要考查考生的推理论证能力和分析、解决问题的能力、以及转化化归的思想和数学素养． 【示例】(2011·浙江)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(aR)，且，，成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；(2)对nN*，试比较＋＋＋…＋与的大小． 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意可知2＝·，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，从而a1d＝d2. 因为d≠0，所以d＝a1＝a.故通项公式an＝na. (2)记Tn＝＋＋…＋，因为a2n＝2na，所以Tn＝ ＝·＝从而，当a＞0时，Tn＜；当a＜0时，Tn＞. 本题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式、等比数列的求和等基础知识，同时考查运算求解能力及推理论证能力． 【训练】 已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的nN*满足关系式2Sn＝3an－3. (1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝，前n项和为Tn，求证：对于任意的正数n，总有Tn＜1. (1)解　由已知得(n≥2)． 故2(Sn－Sn－1)＝2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1(n≥2)． 故数列{an}为等比数列，且公比q＝3. 又当n＝1时，2a1＝3a1－3，a1＝3，an＝3n. (2)证明　bn＝＝－. Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－＜1. 以等差数列、等比数列为载体，考查函数与方程、等价转化和分类讨论等数学思想方法，是新课标高考数列题的一个重要特点，因试题较为综合，故难度一般较大． 【示例】(2011·天津)已知数列{an}与{bn}满足bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝，nN*，且a1＝2. (1)求a2，a3的值；(2)设cn＝a2n＋1－a2n－1，nN*，证明{cn}是等比数列； (3)设Sn为{an}的前n项和，证明＋＋…＋＋≤n－(nN*)． (1)解　由bn＝，nN*，可得bn＝ 又bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1， 当n＝1时，a1＋2a2＝－1，由a1＝2，可得a2＝－； 当n＝2时，2a2＋a3＝5，可得a3＝8. (2)证明　对任意nN*， a2n－1＋2a2n＝－22n－1＋1， 2a2n＋a2n＋1＝22n＋1. ②－，得a2n＋1－a2n－1＝3×22n－1，即cn＝3×22n－1，于是＝4. 所以{cn}是等比数列． (3)证明　a1＝2，由(2)知，当kN*且k≥2时， a2k－1＝a1＋(a3－a1)＋(a5－a3)＋(a7－a5)＋…＋(a2k－1－a2k－3)＝2＋3(2＋23＋25＋…＋22k－3)＝2＋3×＝22k－1，故对任意kN*，a2k－1＝22k－1.由得22k－1＋2a2k＝－22k－1＋1， 所以a2k＝－22k－1，kN*，因此，S2k＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2k－1＋a2k)＝. 于是，S2k－1＝S2k－a2k＝＋22k－1. 故＋＝＋＝－＝1－－. 所以，对任意nN*. ＋＋…＋＋＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝n－－－…－≤n－＝n－. 本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，难度较大．在数列中，，，． （Ⅰ）证明数列是等比数列； （Ⅱ）求数列的前项和； （Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立． Ⅰ）证明：由题设，得 ，． 又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为 ． 所以数列的前项和． （Ⅲ）证明：对任意的， ． 所以不等式，对任意皆成立． 2. 设数列的前项和为，。 （1）求证：数列为等差数列，并分别求出、的表达式； （2）设数列的前n项和为，求证：； （3）是否存在自然数n,使得？若存在，求出n的值；若不存在,请说明理由。 又易知单调递增，故，得 (3)由得 =……13分，得n=1005,即存在满足条件的自然数n=1005.