数学教案：导数与积分x数学案：导数与积分x数学教案：导数与积分x数学教案：导数与积分x.doc

导数概念与运算 教案 知识清单 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|。即f（x）== 说明： 函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。 是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量=f（x+）f（x）； （2）求平均变化率=；取极限，得导数f’(x)=。 2．导数的几何意义 函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。相应地，切线方程为yy=f/（x）（xx） 3．几种常见函数的导数: ① ② ③; ④; ⑤⑥; ⑦; ⑧. 4．两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即： 若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：‘=（v0）。 形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|= y＇| ·u＇| 09级高三数学总复习讲义——导数应用 知识清单 单调区间：一般地，设函数在某个区间可导， 如果，则为增函数； 如果，则为减函数； 如果在某区间内恒有，则为常数； 2．极点与极值： 曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3．最值： 一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。 ①求函数?在(a，b)内的极值； ②求函数?在区间端点的值?(a)、?(b)； ③将函数? 的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 4．定积分 （1）概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝(ξi)△x（其中△x为小区间长度），把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：，即＝(ξi)△x。 这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。＝C； ＝＋C（m∈Q， m≠－1）； dx＝ln＋C； ＝＋C； ＝＋C； ＝sinx＋C； ＝－cosx＋C（表中C均为常数）。 （2）定积分的性质 ①（k为常数）； ②； ③（其中a＜c＜b。 （3）定积分求曲边梯形面积。 如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b（ab）围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝。 课前预习 1．求下列函数导数 （1） （2） （3） （4）y= （5）y＝ 2．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ） A． B． C． D． 3．过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（ ） （A） （B） （C） （D） 4．半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(r2)`＝2r ，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于 的式子： ； 式可以用语言叙述为： 。 5．曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 。 6．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）(0，则必有（ ） A．f（0）＋f（2）(2f（1） B. f（0）＋f（2）(2f（1） C．f（0）＋f（2）(2f（1