数学物理方程习题课数学物理程习题课方程习题课.ppt

* 一、一维齐次方程的初值问题 考虑无限长弦的自由振动问题： 达朗贝尔(D’Alembert)公式 二、无界弦的受迫振动和齐次化原理 由叠加原理可知， 若 是初值问题 齐次方程，非齐次初始条件 是初值问题 则 是初值问题（10）～（11）的解。 非齐次方程，齐次初始条件 一维非齐次波动方程初值问题的Kirchhoff 公式 定理1（齐次化原理或Duhamel原理） 设 若 满足： 则 三、半无界弦的振动问题 对称延拓法的理论依据： 如果自由项 初始数据 和 是 奇（偶）函数，则由表达式（19）所定义的函数 是 的奇（偶）函数。 的 端点固定 端点自由 奇延拓 偶延拓 四、三维波动方程 三维波动方程初值问题解的泊松公式 非齐次方程的初值问题和推迟势 其中 Kirchhoff公式 五、二维齐次波动方程的初值问题 二维波动方程初值问题的Poisson公式 二维非齐次波动方程的初值问题 利用叠加原理和齐次化原理，可以得到其解为 五、依赖区域、影响区域、决定区域 从达朗贝尔公式（9）还可看出，解在任一点 的值为 可见 的值完全由 在区间 上 的值唯一确定，而与其它点上的初值无关。 我们称区间 为点 的依赖区间。 依赖区间 如图 显然，它是由过点 条斜率分别为 轴所截得的区间。 的两 的直线在 1维 ， ， 过 点作一特征线 过 点作另一特征线 它们和区 间 围成一个三角形区域 K ， 该区域中任一点 的依赖区间都落在 内， 我们称区域 K为区 间 的决定区域。 决定区域K 如图 在区间 上给定初值 ，就可以在决定区域 K 中决定初值问题的解。 轴上任取一区间 在 ， 因此解 任一点 的数值 完全由区间 上的初值 决定，而与此区间外的初始条件无关， 在 K 中的 因此该扰动的影响范围是 ， 影响区域 如图 下面我们考虑当初始时刻 发生有限区间 上的扰动时，在时刻 ，它所影响的区域是什么？ 。 由解的物理意义可知，在时刻 ，左传播波到达区间 右传播波到达区间 我们把 称为区间 的影响区域。 平面上的区域 依赖区域 在二维情形下， 任取一点 由 二维齐次波动方程的初值问题解的泊松公式得 2维、3维 由此可见，解 在 上的值依赖于初值函 数 在圆域 上的值，而与 在圆外的值无关。 圆域 称为点 的依赖区域。 它可看作锥体 与平面 相交截得的圆域。 在三维情形下， 任取一点 由三 维齐次波动方程的初值问题解 的泊松公式可知，它的依赖 *