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* * 3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 分类变量:变量的不同”值”表示个体所属的不同 类别. 如:性别,是否吸烟,宗教信仰,国籍等 在日常生活中,我们常常关心两个分类变量之间 是否具有关系.例如,吸烟是否与患肺癌有关系? 性别是否对于喜欢数学课程有影响?等等 为调查吸烟是否对患肺癌有影响,某肿瘤研究所 随机地调查了9965人,得到如下结果(单位:人) 吸烟与患肺癌列联表 9965 91 9874 总计 2148 49 2099 吸烟 7817 42 7775 不吸烟 总计 患肺癌 不患肺癌 列联表:列出两个分类变量的频数表 那么吸烟是否对患肺癌有影响? 粗略估计:在不吸烟者中,有0.54%患有肺癌;在吸烟 者中,有2.28%患有肺癌.因此,直观上得到结论: 吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异 三维柱形图 二维条形图 等高条形图 上面我们通过分析数据和图形,得到的直观印象 是吸烟和患肺癌有关,那么事实是否真的如此呢? 能够以多大的把握认为”吸烟与患肺癌有关”,假设 H0:吸烟与患肺癌没有关系,看看能推出什么结论 把前表中的数字用字母代替,得到如下用字母表示的列联表: a+b+c+d b+d a+c 总计 c+d d c 吸烟 a+b b a 不吸烟 总计 患肺癌 不患肺癌 a+b+c+d b+d a+c 总计 c+d d c 吸烟 a+b b a 不吸烟 总计 患肺癌 不患肺癌 如果”吸烟与患肺癌没有关系”,则在吸烟者中不患肺癌 的比例应该与不吸烟者中相应的比例差不多,即 因此|ad-bc|越小,说明吸烟与患肺癌之间关系越弱; |ad-bc|越大,说明吸烟与患肺癌之间关系越强; 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准, 基于上述分析,我们构造一个随机变量: 9965 91 9874 总计 2148 49 2099 吸烟 7817 42 7775 不吸烟 总计 患肺癌 不患肺癌 利用公式计算得K2的观测值为: 这个值是不是很大呢? 在H0成立的情况下,统计学家估算出如下的概率: 即在H0成立的情况下,K2的值大于6.635的概率 非常小,近似于0.01. 也就是说,在H0成立的情况下对随机变量K2进行 多次观测,观测值超过6.635的频率约为0.01 只有1%,因此我们有99%的把握认为H0不成立, 即有99%的把握认为”吸烟与患肺癌有关系” 上面这种利用随机变量K2来确定在多大程度上 可以认为”两个分类变量有关系”的方法称为两个 分类变量的独立性检验 独立性检验的基本思想类似于数学上的反证法.要确认”两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度,首先假设该结论不成立,即假设结论”两个分类变量没有关系”成立.在该假设下我们构造的随机变量K2应该很小,如果由观测数据计算得到的K2的观测值k很大,则在一定程度上说明假设不合理. 10.828 7.879 6.635 5.024 3.841 2.706 2.072 1.323 0.708 0.455 0.001 0.005 0.010 0.025 0.05 0.10 0.15 0.25 0.40 0.50 例.为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的 关系,在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生, 得到如下列联表: 性别与喜欢数学课程列联表: 300 228 72 总计 178 143 35 女 122 85 37 男 总计 不喜欢数学课程 喜欢数学课程 由表中数字计算K2的观测值,在多大程度上可以认为 高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系? 为什么? 有95%的把握认为”性别与是否喜欢数学课程之间有关系” k≈4.513 a+b+c+d b+d a+c 总计 c+d d c a+b b a 总计 若要推断的结论为H1:”X与Y有关系”,可如下操作: 1.通过三维柱形图和二维条形图,可以粗略地判断两个 变量是否有关系,但是这种判断不精确. a+b+c+d b+d a+c 总计 c+d d c a+b b a 总计 a+b+c+d b+d a+c 总计 c+d d c 吸烟 a+b b a 不吸烟 总计 患肺癌 不患肺癌 主对角线 副对角线 (1)在三维柱形图中,主对角线上两个柱形高度的乘积ad与 副对角线上两个柱形高度的乘积bc相差越大,H1成立的 可能性就越大