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数学样例学习的理论与实证研究 【摘要】：本课题主要围绕数学样例学习进行了以下三部分的研究：第一部分，对样例的认知研究，包括样例学习应该成为数学自主性学习的一种重要方式的论述以及数学教师和学生对数学样例的认知研究；第二部分，数学样例学习的迁移效果和作用影响研究，包括不同领域数学样例学习的迁移特点以及数学样例学习的规律的探讨；第三部分，数学样例学习研究的教学含义，包括数学样例学习材料的设计以及数学样例学习原则的研究。提高数学课堂教学效率是数学教育研究的一项根本任务。研究表明，最有效的教学策略之一是让学生自主学习，通过自主努力，分别去达到各自的、有区别的目标。不论什么样的自主学习方式，都应以阅读学习材料为其第一主要环节。为了让学生能通过阅读有效地学习数学，学习材料的编制应该是个关键。就数学学科学习材料内容而言，大致可以分为三大部分，一是知识的引入(情境的创设)与分析讲解(理解获得知识)；二是知识的应用例析；三是练习的设计安排。三部分的科学合理设计是通过阅读成功地自主学习数学的基础。其中，知识的应用例析是关键的一环，其主要形式就是有解样例，所以，样例是自主性学习材料的一个重要组成部分。样例学习就是从样例中学习、通过样例来学习的一种学习方式，是借助原有的知识基础或认知结构通过对样例的理解学习而进行主动建构形成知识的一种学习方式，它应成为自主性学习的一种重要方式。关于样例学习，通过对教师和学生的问卷调查发现，教师对样例认知的主要观点是：样例不仅仅只是一个供模仿的“样板”，样例还能起到对概念、原理、公式等进行解释的作用，能够帮助理解概念、强化记忆，能让学生知道怎样运用原理或公式来解题。关于公式原理运用的样例的一个重要作用是能提供一个如何在抽象的公式原理中匹配相应对象的类比。一组用于引导或概括一般原理或方法的样例除了被作为抽象的对象供学习者从中概括出一般原理或图式，还具有例释原理或方法的作用。学生关于样例学习的认知是有差异的，但学生都能够从样例对自己数学学习的作用方面认识到样例的重要性。基本认知总起来有两个方面：一方面是样例的学习可以帮助理解知识，并进一步了解知识如何地应用；另一个方面是样例的学习有助于学生进一步解决练习题，并能起到规范解题格式步骤的作用。总体上讲，学生对例题的认知还是比较深刻的，但是，具体到个体而言，认识又是不全面的。如有的学生只认为例题只是给出了标准的解题格式，有的学生认为例题是基本题型应掌握等，而在大部分学生眼里，现行课本中的例题太过于简单、基础。从中透射出现行教科书中例题设计的一些不足，这些不足容易让学生忽视、看轻例题的作用。教材中如何设计例题，我们不能只从教师、教导者的角度去考虑，还要注意学生的感受，以及怎样更能充分实现例题功能的角度来考虑。从学生例题学习方法上我们应该反思新型例题的设计。如“残缺”例题，即需要学生填写上适当东西的例题。从学生学习方法上很少重视例题的分析环节来看，我们需要指导学生学习例题的方法，要重视例题的分析环节，这可以培养良好的分析问题的习惯。通过五个实验对各种数学样例学习的迁移影响和特点进行了研究，得出以下主要结论:知识理解与知识应用不是一脉相承的，理解了知识并不意味着能够运用这个知识，样例是沟通二者的桥梁。数学有解样例为学习者提供了清晰的问题解决的整体结构以及解题步骤系统，这有利于理解了的陈述性知识向程序性知识的转化。样例表面内容的相似性对问题解决确实有影响，样例引导的思维方法有时能局限学生的思维。数学样例学习需要学习者主动地去揭示问题的结构，对解法中的指示信息做出深刻的自我解释。在指导学生学习样例时，不能只看表面，一定要引导学生揭示样例的内部本质结构，建构正确的问题图式。在数学操作技能性问题解决中，只要规则清楚，大量的有解样例是不需要的，所以，对于操作性数学技能的学习，原理或规则的清晰表达是重要的。在说明原理应用的非文字问题解决的样例学习中，有一般性分析说明的样例学习的迁移效果明显好于没有一般性分析说明的。在非文字问题解决中，有一般性分析指导说明的样例更有助于被试选择合适的样例进行类比，提高解题效果。由单项训练到综合运用有一个过渡阶段，这中间需要综合样例学习的辅助。在数学学习方面，单项训练代替不了综合训练，应适时地进行综合训练。通过目前常规的学校数学学习而获得的逻辑知识或推理能力不经过专门应用训练一般是不能够灵活运用于日常逻辑问题解决的，有解答分析的样例可以弥，补这方面的训练不足。学生不善于用正命题与逆否命题的等价性来解决逻辑问题，样例在逻辑分析和推理方法上有重要影响。问题表面概貌相似性影响问题解决，但问题表面概貌相似性的作用影响会随着对问题背景知识的理解程度、熟悉程度的提高而变小。通过四个个案研究得出:样例中蕴涵的图式在被试不理解其数学内涵意义的J清况下也能够被归纳、概括。样例自身具有易迁