数值分析计算方法复习(典型题)数值分析计算方法复习(典型例题)数值分析计算方法复习(典型例题)数值分析计算方法复习(典型例题).ppt

计算方法复习 零 绪论 一 插值与逼近 二 数值积分 应用复化Simpson法计算,得 用一般迭代法求x3-x-1=0的正实根x* 用一般迭代法求方程x-lnx＝2在区间(2, ?)内的根， 要求|xk-xk-1|/|xk|=10-8 k xi 0 3.000000000 1 3.098612289 2 3.130954362 3 3.141337866 4 3.144648781 任意取定初始向量x0 对任意给定的初始向量x0 类似地 五 常微分方程数值解 数值解法 单步法 线性多步法 方程组与高阶方程 重要概念 重要构造方法 局部截断误差 方法精度 差分构造 泰勒展式构造 积分构造 例5 解 给定求解常微分方程初值问题 的线性多步公式 试确定系数 并推导其局部截断误差主项。 使它具有尽可能高的精度， 线性多步公式局部截断误差 此时: 令: 得: 所以当: 为三阶多步公式. 局部截断误差主项为: 六 特征值特征向量 特征值及特征向量解法 迭代法 变换法 重要概念 特征值特征向量 QR分解 变换 正交相似 反射 平面旋转 幂法 反幂法 雅可比法 QR法 (1)QR算法的基本思想 记 A＝A1且有A1＝Q1R1. 将等号右边两个矩阵因子的次序交换，得 A2＝R1Q1 且 即 不难证明: 即 矩阵序列{Ak}有相同的特征值. 因为上Hessenberg矩阵次对角线以下的元素全为0, 因此, 只要证明, 当k→∞时, 由迭 代格式产生的矩阵Ak的次对角元趋向于零就可以了. 记 容易得到 是Ak的一个QR分解 如果A是一个满秩的上Hessenberg矩阵, 可以证明, 经过一个QR迭代步得到的A2＝Q-11A1Q1仍然是上 Hessenberg矩阵. 例4 设矩阵 试用QR算法求它的特征值。 乘幂法是适用于求一般矩阵按模最大特征值及相应特征向量的算法. 设A是n阶矩阵, 其n个特征值按模从大到小排序为 又假设关于λ1, λ2, …, λn的特征向量v1, v2, …,vn 线性无关 一、乘幂法 建立迭代公式 ： * 典型概念例题 Final Exam Review 误差及算法 误差 算法 分类 度量 传播 舍入 截断 绝对 相对 有效数字 一元函数 n元函数 插值法 工具 多项式插值 分段多项式插值 差商 差分 插值基函数 存在唯一性 误差估计 插值公式 Hermite插值 分段线性 分段三次Hermite插值 三次样条插值 函数逼近 预备知识 函数逼近方法 范数 内积 正交多项式 最佳一致逼近 最佳平方逼近 最小二乘拟合 三角函数逼近 帕德逼近 例1 观测物体过原点的直线运动,得到所示数据,求运动方程. 110 80 50 30 10 0 距离s/m 5.0 3.9 3.0 1.9 0.9 0 时间t/s 解 作直线模型: at+s=0 n为观测点数 定义残差向量: 所以: 令: 所求运动方程为: 数值积分 基本概念 Gauss求积公式 代数精度 插值型求积公式 收敛及稳定性 数值求积思想 N-C公式 Romberg求积公式及外推加速 梯形公式 辛普森公式 例2 试确定常数A,B,C及α,使求积公式: 解 代数精确度尽可能高，并确定上述公式的代数精确度。是否为高斯型求积公式. 令: 整理得: 所以代数精确度为5次. 因为代数精确度为2×3=5次,是高斯型求积公式. 标准Simpson公式: 复化 Simpson 公式 将区间[0,1]划分为8等分,应用复化梯形法求得 x f (x) 0 1 1/8 0.9973978 2/8 0.9896158 3/8 0.9767267 4/8 0.9588510 5/8 0.9361556 6/8 0.9088516 7/8 0.8771925 1 0.8414709 =0.9456909 例1 试用数据表计算积分 对于函数 解 比较上面两个结果T8和S4,它们都需要提供9个点上的函数值工作量基本相同,然而精度却差别很 大. 同积分的准确值I(f)=0.9460831比较,复化梯形法的结果T8=0.9456909只有两位有效数字, 而复化 Simpson法的结果S4=0.9460832却有六位有效数字. =0.9456909 三 线性方程组 直接法 Gauss消去法 矩阵三角分解法 向量和矩阵范数 追赶法 矩阵条件数 三 线性方程组 迭代法 基本概念 雅可比迭代 迭代收敛速度 高斯-塞德尔迭代 迭代格式 收敛条件 SOR迭代 常用的算子范数： （