理论力学-第三章刚体力学1.ppt

* * 第三章 刚体力学 刚体也是一个理想模型，它可以看作是一种特殊 的质点组，这个质点组中任何两个质点之间的距离不 变，这使得问题大为简化，使我们能更详细地研究它 的运动性质，得到的结果对实际问题很有用。 我们先研究刚体运动的描述，在建立动力学方程 后，着重研究平面平行运动和定点运动。 第三章 刚体力学 §3.1 刚体运动的分析 §3.2 角速度矢量 §3.3 欧拉角 §3.4 刚体运动方程与平衡方程 §3.5 转动惯量 §3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动 §3.7 刚体的平面平行运动 §3.8 刚体绕固定点的运动 §3.1 刚体运动的分析 刚体 特殊的质点组、理想化模型——任意两点间的距离始终保持不变（刚性）。当物体的形变可以忽略不计时就可以近似看作刚体。 自由度 完全确定体系位置所需要的最少的独立变量个数叫 体系的自由度。 例如：自由质点 自由度= 3 质点组(n个质点)： 自由度= 3n 1. 刚体运动的描述 A 确定刚体在空间的位置，最少需要几个独立变量？ C B 至少需要6个独立变量来确定刚体位置 刚体的自由度 = 6 取哪6个独立变量？ 刚体位置的描述 （1）三点法： （2）转轴法： （3）欧拉角法： 从9个非独立坐标 中任取6个独立的 A B C 轴上一点3个坐标，轴的方位3个坐标，再加上转角φ 直接选取独立的2个变量确定转轴方位，再加上转角 1）一般运动 刚体一般运动的自由度为6 2. 刚体运动的分类 平动的自由度=3 2）平动 世界最大的摩天轮——“伦敦眼” 刚体在运动中的各个时刻，其上任意一直线在运动过程中始终彼此平行，这种运动叫做平动。 定轴转动的自由度=1 3）定轴转动 刚体运动时所有质点都绕着空间一条固定不动的直线作圆周运动，这种运动即定轴转动 平面平行运动的自由度：3 4）平面平行运动 刚体运动时，其中任意一点如果始终在平行于某一固定平面的平面内运动，这种运动叫平面平行运动 定点转动的自由度：3个 5）定点转动 刚体运动时，只有一点固定不动，整个刚体围绕着通过定点的某一瞬时轴线转动，这种运动叫定点转动。 §3.2 角速度矢量 设刚体绕通过定点O的某轴线转动了Δθ角度 角位移： 在转动轴上截取有向线段 称为角位移 的方向：与旋转方向成右手螺旋关系 角位移是不是矢量？ ——矢量的合成满足平行四边形法则 A B 满足对易律：A+B=B+A ：角位移不是矢量，不满足矢量加法对易律 有限转动 M 证明: 无限小转动 ：角位移是矢量，满足矢量加法对易律 当刚体转动无限小角度Δθ P点的线位移： ——令刚体先后绕过O的轴线作两次微小转动 若 是矢量它应当满足矢量加法交换律 转动 后位移： 1）转动前位矢： 再转动 后的位移： 不计二阶小量： 2)交换转动次序 位矢： 位矢： 转动 后位移： 位矢: 再转动 后的位移： 不计二阶小量： 位矢： 线位移是矢量 2.角速度矢量 角速度： 角量与线量的关系： 大小： 方向： ——沿着转动瞬时轴，与旋向成右手螺旋关系 O 一、欧拉角 §3.3 欧拉角 当刚体作定点转动时，我们以该定点为原点，而用3个独立的角度来确定刚体的位置，这3个角称为欧拉角。 x/ξ y/η z/ζ ξ η ζ x y z 固定在刚体上的坐标系o-xyz —— 动系，其位置代表刚体位置 建立：定系o-ξηζ O x/ξ y/η z/ζ ON：节线 O ξ η z/ζ x y N O ξ η ζ x y N z O ξ η ζ x y N z Note： （1）3个欧拉角的作用： （2）欧拉角的取值范围： O ξ η ζ x y N z 可以完全描述 定点转动刚体的一切位置 二、欧拉运动学方程 定点转动刚体绕转动瞬时轴转动 上述3次转动叠加而成 O ξ η ζ x y N z 欧拉运动学方程 A 刚体 一.力系的简化 §3.4 刚体运动方程与平衡方程 作用在刚体上的力所产生的力学效果仅与力的量值和作用线的 地位和方向有关，而与力的作用点在作用线上的地位无关。 1、力的可传性原理 B 非刚体 Note：（1）在刚体力学中，力被称为滑移矢量。 （2）可沿作用线前后滑移， 但作用线本身不能随便迁移。 2、力偶： F1 F2 A B P r1 r2 r12 （2）作用效果： （1）定义：大小相等、方向相反，作用线相互平行的一对力 矢量和：F1 + F2 ＝0 力偶矩： 大小：M=Fd，——仅与两力大小F和两力作用线距离d有关 与P无关 Note：（1）力偶的唯一作用效果是力