数字信号处理z变换数字信号理z变换处理z变换.ppt

已知 求x(n) 4) 留数定理法 围线积分，积分是沿曲线c进行的，曲线c是收敛域 中 一条逆时针的封闭曲线。直接计算围线积分非常麻烦，一般采用以下方法：留数定理 若围线c内的极点用zk表示，那么根据留数定理，将求围线积分转换为求围线内所有留数的和： 表示 在极点z=zk处的留数 zk是单极点： zk是N阶极点： 对于N阶极点，需要求导N-1次，比较麻烦，可以通过留数辅助定理来计算曲线c外面极点的留数之和。 设在z平面上有N个极点，围线c将他们分成两部份：N1个c 内极点z1k和N2个c外极点z2k， 条件： 的分母的阶次比分子的阶次高二阶以上 例 极点： N阶，用留数辅助定理，围线外无极点因此： 所以： 例 没有给定收敛域，分别讨论： 右序列，只求 的情况 有两个极点 左序列，只求 的情况，围线内n阶极点 改求围线外极点 双边序列 c内有一个极点z=a c内有两个极点z=a，z=0（n阶），c外有一个极点z=a-1 所以 1.7 DFT、DTFT、z变换的关系 为N点有限长序列 在z平面上的收敛域内取值， 仅在单位圆上取值， 是在单位圆上N个等距点上取值(采样值) 说明N点序列的z变换可以用其N点DFT系数来表示 令 说明N点序列的连续谱 可以用其离散谱 插值后得到 * * * * * * 零点 极点 收敛域 或 既不是零点也不是极点 1.5 z变换性质 线性 设： 则 收敛域至少是两个单一收敛域的交集，若有零极点相消的情况，那么收敛域将一如某些零点抵消的极点，收敛域将扩大。 时移 设双边z变换 则 置换变量 证明 时移 设单边z变换 则 对于因果序列 但左移 右移 乘以指数序列 设 则 证明 所以 或 X (z)的微分 设 证明 复序列的共轭 设 则 证明 初值定理 设 是因果序列， 则 证明 考虑每一项的极限，可得证 终值定理 设 是因果序列，其z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其他极点均在单位圆内，则： 证明，利用序列的线性和位移性质 是因果序列 因为 在单位圆上没有极点，上式两端对取极限 序列的卷积 设 证明 则： 1.6 z反变换 z变换的重要作用之一是在离散时间线性系统分析中。这种分析往往涉及求序列的z变换，再将该代数表达式经过某种运算处理后，求z反变换得到处理后的序列 已知序列的z变换及其收敛域，求序列称为求z反变换 1) 观察法 2)长除法(幂级数展开法) 3)部分式展开法 4) 留数定理法 1) 观察法 本方法就是由某些熟悉的，或凭观察就能辨认出来的变换对所构成。如根据： 可以求 2)长除法(幂级数展开法) 按照z变换的定义，长除法可以将X (z)写成幂级数形式，级数的系数就是序列x (n) 若x (n)是右序列，级数应该是负幂级数 若x (n)是左序列，级数应该是正幂级数 复杂情况下难以得到封闭解 例 根据收敛域，此序列是右序列，分子和分母按照的z-1升幂排列 因此，根据z变换的定义，同时，序列是右序列 例 根据收敛域，此序列是左序列，分子和分母按照的z-1降幂排列 因此，根据z变换的定义，同时，序列是左序列 可能不是直接给出的简单形式，我们可以将它表示成一些简单项之和，每一项都可以从表格中查到。对于任意一个有理函数就属于这种情况，因为可以对有理函数求得一个部分项展开，而相对应单个项的序列非常容易辨认： 3) 部分分式展开法 是一种等效表示，这样的函数在z平面非零区域有M个零点，N个极点；若MN，在z=0处还有M-N个极点；若NM，在z=0处还有N-M个零点，表示成如下形式最方便： ck是非零值零点，dk是非零值极点 两边乘以 并对 求值，系统 就能够由下式求得 若MN且极点都是一阶的，则可以表示成： 例 根据收敛域分析，序列是右序列，极点都为一阶，所以可以表示为 可求 由于序列是右边序列，所以 若 ,那么应该表示为： 可以用长除法直至余式的阶数低于分母的阶数，然后使用上述方法确定Ak 例 M=N，且极点均为一阶 B0用长除法求得，根据收敛域可知序列是右序列 此时，第二项MN，可用上述方法确定Ak 因此： 序列 X(z)有多重极点 X(z)有一个s阶级点z=di, 其余都是一阶级点且 或 z变换与拉氏变换的映射关系 z变换与拉氏变