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第 8 章 正交变换 8.1 正交变换； 8.2 K—L 变换 8.3 离散余弦（正弦）变换（DCT, DST） 8.4 离散 Hartley 变换（DHT） 8.5 离散 W 变换 8.6 DCT、DST、DWT快速算法（略） 8.7 关于图像压缩及国际标准（讲座1） 8.8 重叠正交变换（LOT） （讲座2） 一、信号的分解 设空间 是由 N 维空间一组向量 概念： 8.1 正交变换 所张成，即 信号的离散表示,或 信号的分解 是分解系数 或信号的变换 设想另有一组向量 Step1: 满足： 例如： Step2:做内积 对 注意：满足双正交关系的两组基向量各自并不满足正交关系，只是相互之间满足正交关系。 如果： 几点说明： 用向量 表示信号 ，会出现几 种不同的情况，取决于 的性质： 如果 是完备的，且是线性无关的， 则它构成 中的一组基向量，这时其对偶 向量存在且唯一，即存在前述的双正交关系； 这时的基称为 Riesz 基。 二、信号的正交变换 给定数据向量： 及算子 作变换 则上述变换即为正交变换，或保范（数）变换 实际上是正交矩阵， 以上正交变换是从线性代数的角度来定义。 正交变换的性质： 1. 若正变换存在，那么反变换一定存在，且变换是唯一的； 性质2：展开系数是信号在基向量上的准确投影 非正交基的情况下，“基向量”称为“标架（Frame)”, 这时，展开系数不是准确投影。 性质3：正交变换保证变换前后信号的能量不变， 此性质又称为“保范(数)变换”。 此性质实际上是 Parseval’s 定理，即信号变换前后能量保持不变。 注意，只有正交变换才有此性质。 性质4：信号正交分解具有最小平方近似性质。 傅立叶级数的截短、第7章的FIR滤波器设计等，均要用到该性质。 性质5：正交变换的系数具有去除相关和集 中能量的性质。 数据压缩的理论基础。后面即将讨论。 正交基的选择 原则： 具有所希望的物理意义或实用意义； 正交基函数应尽量简单，计算量小； 最大限度浓缩信号能量，去除相关性； 基函数应能同时具有频域和时域的定位功能 正交变换的实例： FS，FT, DTFT, DFS, DFT DCT，DST, DHT Walsh-Hadamard, Haar 变换， SLT(斜变换） 正弦类正交变换 非正弦类正交变换 8.2 K—L 变换 数据向量： 协方差阵： 体现了信号各元素之间的相互关系 K—L 变换的思路： 寻找正交矩阵 ，做变换 ， 使 的协方差阵 为对角阵。 这样 之间彻底去除了相关性。 1. 由 求 的特征值 步骤： 4. 由归一化的 构成正交阵 K—L 变换的应用－数据压缩： 的 K—L 展开 欲使均方误差： 为最小 应是 的特征向量。 最小 这时 注意：对正交变换 不是时域序列，而是 的变换系数 （即 ） ，如 DFT 的 。正交变换 后，信号的能量一般集中在少数的变换系数 上，所以可以舍去绝大部分系数，这并不明 显损失信号的能量。由剩下的少量系数， 如 ，通过反变换 可以很好的 恢复出原信号。从而达到数据压缩的目的。 K—L 变换： 去相关性最彻底，在此意义上是最佳正交变换； 8.3 离散余弦变换（DCT） 定义： DCT的 定义 DCT的核函数， DCT矩阵 DCT 的特点 DCT 是实变换； DCT 是正交变换； 在一定条件下，DCT近似 K-L 变换； DCT有快速算法。 正因为DCT有上述特点，因此，DCT 在语音和图像压缩中已获得广泛应用。 例：8 点 DCT： DCT 反变换 在DCT中，正变换矩阵和反变换矩阵是一样的，都是实矩阵。特别有利于实时实现及硬件实现。 一阶马尔可夫过程（Markov-1):语音和图象处理中常用的数学模型。一个随机信号 ，若其pdf满足如下关系： 则称 为一阶马尔可夫过程。该式的含意是: 已知过程在现在时刻的状态，那么，下一个时刻的状态只和现在的状态有关，而和过去的状态无关。 令