苏州大学历年高等代数真题苏大学历年高等代数真题苏州大学历年高等代数真题苏州大学历年高等代数真题.doc

2000年真题 1．（14分）设f (x),g (x),h (x)都是数域P上的一元多项式，并且满足： （1） （2） 证明：能整除。 2．（14分）设A是nr的矩阵，并且秩（A）= r，B，C是rm矩阵，并且AB=AC，证明：B=C。 3（15分）求矩阵的最大的特征值，并且求A的属于的特征子空间的一组基。 ４(14分)设． ５(14分)设A,B都是实数域R上的矩阵,证明:AB,BA的特征多项式相等． 证明：要证明AB,BA的特征多项式相等，只需证明： ６．(14分)设A是实对称矩阵,证明：是一个正定矩阵． 证明：A是实对称矩阵，则Ａ的特征值均为实数． ７．(15分)设A是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换,设但是．证明：是Ｖ的一组基．并且求线性变换Ａ在此基下的矩阵，以及Ａ的核的维数． 2000年真题答案 1、证明： （3） 将（3）带入（1）中，得到： ． 注：本题也可以把g,h作为未知量对线性方程求解，用克莱姆法则导出结果。 2、证明： ，即方程． 3、解：， 当时，求出线性无关的特征向量为， 则是的特征子空间的一组基． 4、解：不妨设 则矩阵对应的特征值为： 故 5、利用构造法，设，令， ，两边取行列式得 ．（１） ，两边取行列式得 ．（２） 由（１），（２）两式得＝ ．（３） 上述等式是假设了，但是（３）式两边均为的n次多项式，有无穷多个值使它们成立（），从而一定是恒等式． 注：此题可扩展为Ａ是矩阵，Ｂ是矩阵，ＡＢ，ＢＡ的特征多项式有如下关系：，这个等式也称为薛尔佛斯特（Sylvester）公式． 6、设为Ａ的任意特征值，则的特征值为． 故是一个正定矩阵． 7、证明：令．（１） 用左乘（１）式两边，得到． 由于，，带入（１）得．（２） 再用左乘（２）式两端，可得． 这样继续下去，可得到． 线性无关． ＝． Ａ在此基下的矩阵为， 可见,, 即A的核的维数为1． 2001年真题 2002年真题 1．（15分）设，都是矩阵。解矩阵方程。 2．（20分）设，是否相似于对角矩阵？如果相似于对角矩阵，求可逆矩阵，使得是一个对角矩阵。 3．（10分）设都是非负整数。设。证明：整除。 4．（10分）设，都是矩阵，是矩阵，并且的秩是。证明：如果，则。 5．（10分）设是矩阵，并且是可逆的。证明：如果与的所有的元素都是整数，则的行列式是或。 6．（10分）设是反对称矩阵，证明：是半正定的。 7．（15分）设是矩阵。如果，并且的秩是，是否相似于一个对角矩阵？如果是，求这个对角矩阵。 8．（10分）设是有理数域上的线性空间，的维数是，与是的线性变换。其中可对角化，并且。证明：存在正整数，使得是零变换。 2003年真题 2004年真题 2004年真题答案 2005年真题 1、（20分）设A,B均为n阶方阵,A中的所有元素均为1,B中的除元素为1外,其余元素均为0.问A,B是否等价?是否合同?是否相似?为什么? 2、（20分）设A=。v是的A最大的特征值。求A的属于v的特征子空间的基。 3、（20分）设f（x）是一个整系数多项式。证明：如果存在一个偶数m和一个奇数n使得f（m）和f（n）都是奇数，则f（x）没有整数根。 4、（20分）设A是一个2n×2n的矩阵。证明：如果对于任意的2n×2矩阵B，矩阵方程AX=B都有解，则A是可逆的。 5、（20分）证明实系数线性方程组AX=B有解的充要条件是用它的常数项依次构成的列向量B与它所对应的齐次线性方程组AX=0的解空间正交。 6、（20分）设A，B是n×n实对称矩阵，且A+B=E,E为单位矩阵。证明下列结论等价： （1）AB=O,O为零矩阵（2）秩(A)+秩(B)=n 7、（20分）设V是复数域上的n维线性空间，q，p是V上的两个可对角化的线性变换，且qp=pq。证明： （1）如果k是q的特征值，那么V（k）是的不变子空间。（2）存在一组基使得q、p在这组基下的矩阵都是对角矩阵。 8、（10分）设A，B，C分别是m×m,n×n,m×n矩阵（mn）,且AC=CB,C的秩为r. 证明: A和B至少有r个相同的特征值。注意：7题中V(k)在原题中k为V