【复变函数】-史上最全ppt--上.ppt

1. 幂级数的概念 定义 设复变函数列： 称为复变函数项级数 级数的最前面n项的和 级数的部分和 　 若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数 ---级数(1)的和函数 特殊情况，在级数(1)中 称为幂级数 2. 收敛定理 同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理： 定理1 阿贝尔(Able)定理 讨论P142：5 证明 (2)用反证法， 3. 收敛圆与收敛半径 　　由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况： (i) 若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处处收敛. (ii )除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数(3)在复平面上除z=0外处处发散. 显然，? ? 否则，级数(3)将在?处发散. 将收敛部分染成红色，发散 部分染成蓝色，?逐渐变大， 在c?内部都是红色,?逐渐变 小，在c?外部都是蓝色， 红、蓝色不会交错.故 播放 (i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外 部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题 要具体分析. 定义　红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的 收敛圆；圆的半径R叫做幂级数的收敛半径. (ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R 的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径 为R的圆域. 4. 收敛半径的求法 定理2 (比值法) 证明 定理3 (根值法) 定理2 (比值法) 第九次课 11月19日 例1：P111 解 综上 例2 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形: 解 (1) 该级数收敛 该级数发散 p=1 p=2 ?该级数在收敛圆上是处处收敛的. 综上 该级数发散. 该级数收敛， 故该级数在复平面上是处处收敛的. 5. 幂级数的运算和性质 　代数运算　 ---幂级数的加、减运算 ---幂级数的乘法运算 ---幂级数的代换(复合)运算 幂级 数的代换运 算在函数展 成幂级数中 很有用. 例3：P116 解 代换 解 代换 展开 还原 　分析运算　 定理4 ---幂级数的逐项求导运算 ---幂级数的逐项积分运算 作业 P103 30(1)(2),31 P141 1(2)(4),3(3)(4),6(2)(3)(4),11(1)(3) 1. 泰勒展开定理 2. 展开式的唯一性 3. 简单初等函数的泰勒展开式 §3 泰勒(Taylor)级数 1. 泰勒(Taylor)展开定理 现在研究与此相反的问题： 一个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函 数在解析点能否用幂级数表示？） 由§2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在 它的收敛圆内部是一个解析函数. 以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示. 定理（泰勒展开定理） D k 分析： 代入(1)得 D k z ---(*)得证！ 证明 (不讲) (不讲) 一个解析函数的导数仍为解析函数. 例1 解 作业 P100 7(3)(5)(7)(9) 8(1)(2) 9(3)(5) 解析函数与调和函数的关系 在§6我们证明了在D内的解析函数,其导数 仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数.本节 利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间 的关系. 内 容 简 介 §7 解析函数与调和函数的关系 定义 定理 证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则 即u及v 在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程: 定义 上面定理说明： 由解析的概念得： 现在研究反过来的问题： 如 定理 公式不用强记！可如下推出： 类似地， 然后两端积分得， 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中都有重要应用.本节介绍了调和函数与解 析函数的关系. 例1 解 曲线积分法 故 又解 凑 全 微分 法 又解 偏 积分 法 又解 不定 积分 法 第八次课 11月12日 1. 复数列的极限 2. 级数的概念 第 四 章 级 数 §1 复数项级数 1. 复数列的极限 定义 又设复常数： 定理1 证明 2. 级数概念 级数的前n项的和 ---级数的部分和 不收敛 ---无穷级数 定义 设复数列： 　 例1 解 定理2 证明 由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为 　　 两个实数项级数的收敛问题. 性质 定理3 证明 ? 定义 由定理3的证明过程，及不等式 定理4 解 例2：P108 例3 解 练习(P108,例1)： 1. 幂级数概念 2. 收敛定理 3. 收敛圆与收敛半径 4. 收敛半径的求法 5. 幂级数的运算和性质 §2 幂级数 (3)定理中曲线C不必是简单的！如下图. B B C 推论