4-2刚体的定轴转动定律.ppt

上一节介绍了定轴转动刚体的运动是如何描述的 外界对定轴转动刚体的作用(力)是如何影响其运动的？ §4-2 力矩 转动定律转动惯量 一、力矩(力对定轴转动刚体的作用效果) 甲 丙 乙 同样大小的力推门 甲易、乙难、丙推不开 力矩的一般定义: O P:力的作用点 力对参考点O的力矩为： 力矩为一矢量！！ 说明： 3）力矩是力对某一参考点的而言，同一个力对不同参考点的力矩不同。(定轴转动的刚体力矩一般相对于转动轴) 1）力矩单位是N*m，和能量单位J的量纲相同，但物理意义不同。 2）力矩的具体计算： 力矩的大小： O P:力的作用点 力矩的方向：右手关系 d 4）定轴转动刚体的力矩 h A ? 因此对于刚体定轴转动： 只需要考虑力在转动平面内的分量产生的力矩即可。 力矩方向沿着转动轴，因而可以用标量表示。 合力矩大小等于分力力矩大小的代数和。 力矩是如何影响定轴转动刚体的运动？ 二、刚体定轴转动的转动定律 推导过程(了解)： fk rk 刚体动力学 质点动力学 刚体 质点 微分 把刚体微分成无限多“小块”----质量元(质元) 第 k个质元 切线方向 外力 内力 在上式两边同乘以 rk 对所有质元求和 fk rk 内力矩之和为0 转动惯量 J ～合外力矩 定义： 则有： fk rk 刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比，叫做定轴转动时刚体的转动定律，简称转动定律。 说明： 1）转动定律是解决刚体定轴转动问题的动力学方程； 2）定轴转动定律来自于牛顿第二定律，其适用范围仍然是惯性系；(它可视为刚体的牛二定律) 4）此公式可以推广到刚体一般的转动 3）刚体内部的作用力对刚体的运动没有影响。 三、转动惯量 J 质点 质点惯性的量度 刚体 因此，转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。 1转动惯量的物理意义 2 转动惯量的计算 rk 若质量连续分布 dm为质量元，简称质元。其计算方法如下： 质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布 其中?、?、?分别为质量的线密度、面密度和体密度。 线分布 面分布 体分布 教材P121 表4-2 几种均匀刚体的转动惯量 决定转动惯量的要素： ①刚体的质量； ②转轴的位置； ③刚体的形状。 飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？ 竿子长些还是短些较安全？ * (2) 受力分析 (3) 建立坐标系(设一正方向) (1)分离物体 解题步骤 四 定轴转动定律的综合应用 (4) 列动力学方程 平移： ；转动： (5) 解方程组 例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为ｍ的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体ｍ由静止下落高度ｈ时的速度和此时滑轮的角速度。 解：如图所示，M、m的受力图得知： M m * 例2 质量为mA的物体A 静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为mB 的物体B上，B 竖直悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距离 y 时，其速率是多少？ * 　　解 (1) 用隔离法分别对各物体作受力分析，取如图所示坐标系． A B C O O * O O * 解得： * 如令 ，可得 （2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率 * 稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度． 　　例3　一长为 l 、质量为 m 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动．由于此竖直放置的细杆处于非 m,l O mg θ * 解 细杆受重力和铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得 式中 得 m,l O mg θ * 由角加速度的定义 代入初始条件积分得 m,l O mg θ 例4:一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为?，令圆盘最初以角速度?0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？ r R dr ? d? e 解:因摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元的质量dm=?rd?dre，所受到的阻力矩是r?dmg 。 此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是 因m=?e?R2，代入得 根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即 获得负的角加速度. 设圆盘经过时间t