无穷小与无穷大,极限运算法讲义无穷小与无穷大,极限运算法则讲义无穷小与无穷大,极限运算法则讲义无穷小与无穷大,极限运算法则讲义.doc

标题：无穷小与无穷大 教学目标：1.理解无穷小、无穷大的概念； 2.掌握无穷小与无穷大的关系。 教学重点及难点：1.无穷小的概念；2.无穷小与无穷大的关系。 教 学 内 容 （教 学 时 数： 2 ） 一、无穷小 若当（或）时的极限为零，就称为当（或）时的无穷小，即有 定义1：对若，使得当时，有成立，就称为当时的无穷小，记为。 注⑴：除上两种之外，还有的情形。 ⑵：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0），不要将其与一个绝对值非常小的数混淆，因为任一常数不可能任意地小，除非是0，即0是唯一可作为无穷小的常数。 因为，所以当时为无穷小； 同理：，所以当时为无穷小， 定理1：当自变量在同一变化过程（或）中， （i）为的极限。 （ii） 备注： 二、无穷大 若当或时，就称为当或时的无穷大。 定义2：若对，使得当时，有，就称当时的无穷大，记作:。 注⑴：同理还有时的定义。 ⑵：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆。 ⑶：若或，按通常意义讲，的极限不存在。 可证明，所以当时为无穷大。 曲线的渐近线：一般地，若是曲线y=f(x)的一条水平渐近线。 若是曲线y=f(x)的一条垂直渐近线。 定理2：当自变量在同一变化过程中时， （i）若为无穷大，则为无穷小。 （ii）若为无穷小，且，则为无穷大。 （证明略） 三、练习题 1、凡是无穷小者皆以___________为极限； 2、在____________条件下，直线是函数的水平渐近线； 3、在同一过程中，若为无穷大，则__________为无穷小。 作业题，思考题： 标题：极限运算法则 教学目标：1.掌握无穷小的性质；2.掌握极限运算法则。 教学重点：1.无穷小的性质；2.极限运算法则。 教学难点：无穷小的性质。 教 学 内 容 （教 学 时 数： 2 ） 一、无穷小的性质 定理1：有限个无穷小的和仍为无穷小，即设 注：可以推广到有限多个无穷小的代数和的情形。但是，无穷多个无穷小的和不一定是无穷小，如： 定理2：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设有界，( 推论1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若为常数，。 推论2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设 。 二、极限四则运算法则 定理3：若，则存在，且 。 证明： 只证，过程为，对，当 时，有，对此，，当时，有，取，当时，有 所以。 其它情况类似可证。 注：本定理可推广到有限个函数的情形。 备注： 定理4：若，则存在，且 。 证明略。 推论1：（为常数）。 推论2：（为正整数）。 定理5：设，则。 证明略。 注：以上定理对数列亦成立。 定理6：如果，且，则。 【例1】。 【例2】。 推论1：设为一多项式，当 。 推论2：设均为多项式，且，由定理5，。 【例3】。 【例4】（因为）。 注：若，则不能用推论2来求极限，这时需采用其它手段。 【例5】求。 解：当时，分子、分母均趋于0，因为，约去公因子， 所以 【例6】求 解：当极限均不存在，故不能直接用定理3，但当时， ，所以 。 【例7】求。 解：当时，，故不能直接用定理5，又，考虑：， 由无穷小与无穷大的关系。 【例8】设为自然数，则 。 证明：当时，分子、分母极限均不存在，故不能用§1.6定理5，先变形： 【例9】 作业题，思考题： 标题：无穷小的比较 教学目标：1.掌握无穷小阶的概念；2.会对无穷小进行比较；3.会用无穷小的等价替换求有关极限。 教学重点及难点：利用等价无穷小求极限。 教 学 内 容 （教 学 时 数： 2 ） 一、无穷小阶的定义 在上一节中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于无穷小的商会出现不同的情况，例如： （为常数，为自然数） 定义：设与为在同一变化过程中的两个无穷小， 若，就说是比高阶的无穷小，记为； 若，，就说是比低阶的无穷小； 若，，就说与是同阶的无穷小； 若，就说与是等价无穷小，记为。 定理1：是等价无穷小的充分必要条件为 。 证明略。 当时，是的高阶无穷小，即；反之是的低阶无穷小； 与是同阶无穷小；与是等价无穷小，即。 定理2：若均为的同一变化过程中的无穷小，且，及，那么。 定理2表明：求两个无穷小之比的极限时，分子、分母都可用等价无穷小来代替。 备注： 求。 解：因为当时，；. 所以 。 求 解：因为当时，， 所以 原式。 在目前，常用当时，等价无穷小有： . 求 注意：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！