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第八节 一、根的隔离与二分法 (2) 逐步收索法 2. 二分法 例1. 用二分法求方程 二、牛顿切线法及其变形 牛顿切线法的基本思想: 牛顿法的误差估计: 牛顿法的变形: (2) 割线法 例2. 用切线法求方程 三. 一般迭代法 例3. 用迭代法求方程 定理. 内容小结 三、一般迭代法 (补充) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可求精确根 无法求精确根 求近似根 两种情形 (有时计算很繁) 本节内容: 一、根的隔离与二分法 二、牛顿切线法及其变形 方程的近似解 第三章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 作图法 1. 求隔根区间的一般方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由图可见只有一个实根 可转化为 以定步长 h 一步步向右 有哪些信誉好的足球投注网站, 若 有哪些信誉好的足球投注网站过程也可从 b 开始 , 取步长 h 0 . 取中点 对新的隔根区间 重复以上步骤, 反复进行, 得 则误差满足 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的近似 实根时, 要使误差不超过 至少应对分区间多少次 ? 解: 设 故该方程只有一个实根 ? , 欲使 必需 即 可见只要对分区间9次 , 即可得满足要求的实根近似值 (计算结果见“高等数学”(上册) P177～178) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有如下四种情况: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 程的近似根 . 记纵坐标与 同号的端点为 用切线近似代替曲线弧求方 在此点作切线 , 其方程为 令 y = 0 得它与 x 轴的交点 其中 再在点 作切线 , 可得近似根 如此继续下去, 可得求近似根的迭代公式 : 称为牛顿迭代公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由微分中值定理得 则得 说明: 用牛顿法时, 若过纵坐标与 异号的端点作 切线 , 则切线与 x 轴焦点的横坐标未必在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 简化牛顿法 若用一常数代替 即用平行 则得简化牛顿迭代公式. 线代替切线, 得 优点: 因而节省计算量. 缺点: 逼近根的速度慢一些. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为避免求导运算 , 用割线代替切线, 例如用差商 代替 从而得迭代公式: (双点割线法) 特点: 逼近根的速度快于简化牛顿法, 但慢于牛顿法. 说明: 若将上式中 则为单点割线法, 逼近 根的速度与简化牛顿法相当. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的近似解, 使 误差不超过 0.01 . 解: 由草图可见方程有唯一的正实根 ? , 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 得 而 再求 因此得满足精度要求的近似解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (补充) 在隔根区 按递推公式 则 ? 即为原方程的根 . ① ①称为迭代格式 , 初值 . 否则称为发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法1 将方程变形为 迭代格式为 发散 ! 解法2 将方程变形为 迭代格式为 迭代收敛 , 1.32472 为计算精度范围内的所求根 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (证明略) 迭代法的敛散性与迭代函数的特性有关. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可以证明 下述定理: