现代控制理论第一章现代控制论第一章理论第一章.ppt

其中 可得 我们可以得到一般线性表达式 例：试求下列非线性系统 在　　　　处的线性状态空间表达式． 解：由状态方程和输出方程知 于是， 故线性化后的表达式为： 当 时,对应特征向量为 当 时,对应特征向量为 规律: 当 时,对应特征向量为 同理,按第一行展开 分别求得对应特征向量为 取 同理,按第二行展开 分别求得对应特征向量为 取 小结: 当特征根有重根时,利用代数余子式方法求出的T值可能不完全相同,即所谓的特征矢量不唯一,但是约旦阵 都相同,不同的仅仅是 和 2. A阵为标准型,即 ⑴. A的特征值无重根时,其变换矩阵是一个范德蒙 德矩阵,为 ⑵. A的特征值有重根时,以有 的三重根为例; ⑶. 有共轭复根时,以四阶系统其中有一对共轭复根为 例,即 此时, 【例1-6】将下列（A,B,C,D）组成的动态方程转换为约当标准型。 解：先求特征根： 对于λ1= -1，m1=2，我们有： 对于λ2=-2，m2=1，我们有： 所以： 系统的 约 当 标 准 型为： §1-0 概 述 §1-1 状态变量及状态空间表达式 §1-2 状态空间表达式的建立 §1-3 状态变量的线性变换 §1-4 从状态空间表达式求系统传递函数 §1-5 离散时间系统状态空间表达式 §1-6 时变系统和非线性系统的状态空间表达式 §1－4 从状态空间表达式求系统传递函数阵 一. 传递函数阵 1. 单输入—单输出系统 已知系统状态空间表达式为 式中　x—n维状态矢量；y和u—输出和输入； 　　　Ａ－n×n方阵；b－n×1列阵； 　　　　 －１×n行阵；d—标量，一般为零． 对其进行拉氏变换，并假定初始条件为零， 则有： 故Ｕ－Ｘ间的传递函数为 U－Ｙ间的传递函数为 ２．多输入－多输出系统 已知系统状态空间表达式为： 其中，X、Y、U分别为n×1、m×1、r×1的列向量，A、B、C、D 分别为n×n、n×r、m×n 、m×r的矩阵。 作拉氏变换，并设系统初态为零，则有： 故Ｕ－Ｘ间的传递函数为 而Ｕ－Ｙ间的传递函数为 §1-0 概 述 §1-1 状态变量及状态空间表达式 §1-2 状态空间表达式的建立 §1-3 状态变量的线性变换 §1-4 从状态空间表达式求系统传递函数 §1-5 离散时间系统状态空间表达式 §1-6 时变系统和非线性系统的状态空间表达式 §１－５离散时间系统状态空间表达式 顾名思义，离散时间系统就是系统的输入和输 出信号只在某些离散时刻取值的系统。 离散时间系统一般用差分方程表示其输入和输 出信号的关系，n阶差分方程为： 将其两边作 Z 变换，并设系统初态为零，得 系统的脉冲传递函数 W(z) 定义为输出信号 Z 变 换与输入信号 Z 变换之比，即： 同连续时间系统一样，由离散时间系统差分方 程或脉冲传递函数求取离散状态空间表达式的过程 叫做离散系统的实现。 离散系统动态方程一般形式为： 方块图表示如下图所示： 图中方块T为单位延迟器，它表示将输入的信 号延迟一个节拍，即如果其输入为X(k+1)，那么其 输出为X(k)。 矢量形式为: §1-0 概 述 §1-1 状态变量及状态空间表达式 §1-2 状态空间表达式的建立 §1-3 状态变量的线性变换 §1-4 从状态空间表达式求系统传递函数 §1-5 离散时间系统状态空间表达式 §1-6 时变系统和非线性系统的状态空间表达式 §1-6 时变系统和非线性系统的状态空间表达式 一.线性时变系统 在线性时变系统时,状态空间表达式中的 A, B, C, D等矩阵中的元素有些或全部是时间 t 的函数. 　　线性时变系统的状态空间表达式为 二．非线性系统 非线性系统的状态空间表达式为： 用向量矩阵表示为： 假如上式中不含时间 t ，则为时不变非线性系统． 设　　　　　是满足其的一组解，即 将 f ,g 在　　和　　附近作泰勒级数展开 式中　　　　　　　　　是关于　　　　的高次项． §1-3状态向量的线性变换 系统状态空间表达式的非唯一性 对于一个给定的定常系统,可以选取多种变量, 对应地有许多种状态空间表达式描述同一系统,也就是 说系统可以有多种结构形式.所选取的状态矢量之间, 实际上是一种矢量的线性变