线性代数第五版2线性代数第版2五版2.ppt

知识点比较 有意义. 没有意义. 只有当第一个矩阵的列数 等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘. 例 P.35例5 结论： 矩阵乘法不一定满足交换律. 矩阵 ，却有 ， 从而不能由 得出 或 的结论． 矩阵乘法的运算规律 (1) 乘法结合律 (3) 乘法对加法的分配律 (2) 数乘和乘法的结合律 （其中 l 是数） (4) 单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即 推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵 lE 与任何同阶方阵都是可交换的. 纯量阵不同于对角阵 (5) 矩阵的幂 若 A 是 n 阶方阵，定义 显然 思考：下列等式在什么时候成立？ A、B可交换时成立 四、矩阵的转置 定义：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作AT . 例 转置矩阵的运算性质 例：已知 解法1 解法2 定义：设 A 为 n 阶方阵，如果满足 ，即 那么 A 称为对称阵. 如果满足 A = －AT，那么 A 称为反对称阵. 对称阵 反对称阵 例：设列矩阵 X = ( x1, x2, …, xn )T 满足 X T X = 1，E 为 n 阶单位阵，H = E－2XXT，试证明 H 是对称阵，且 HHT = E. 证明： 从而 H 是对称阵． 五、方阵的行列式 定义：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A|或detA. 运算性质 证明：要使得 |AB| = |A| |B| 有意义，A、B 必为同阶方阵， 假设 A = (aij)n×n，B = (bij)n×n . 我们以 n= 3 为例，构造一个6阶行列式 令 ，则 C = (cij)= AB ． 从而 ． 定义：行列式 |A| 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵 称为矩阵 A 的伴随矩阵. 元素 的代数余子式 位于第 j 行第 i 列 性质 性质 证明 （设A，B 为复矩阵，l 为复数，且运算都是可行的）： 六、共轭矩阵 运算性质 当 为复矩阵时，用 表示 的共轭复数，记　　　　， 称为 的共轭矩阵. §3 逆矩阵 矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算. 矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？ 这就是本节所要讨论的问题. 这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵. 从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地位类似于 1 在复数中的地位． 一个复数 a ≠ 0的倒数 a－1可以用等式 a a－1 = 1 来刻划. 类似地，我们引入 对于 n 阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵 A，都有 定义： n 阶方阵 A 称为可逆的，如果有 n 阶方阵 B，使得 这里 E 是 n 阶单位矩阵. 根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式. 对于任意的 n 阶方阵 A，适合上述等式的矩阵 B 是唯 一的（如果有的话）. 定义： 如果矩阵 B 满足上述等式，那么 B 就称为 A 的逆矩阵， 记作 A－1 . 下面要解决的问题是： 在什么条件下，方阵 A 是可逆的？ 如果 A 可逆，怎样求 A－1 ？ 结论： ，其中 定理：若 ，则方阵A可逆，而且 推论：若 ，则 . 元素 的代数余子式 位于第 j 行第 i 列 例：求二阶矩阵 的逆矩阵. * §1 矩阵 一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换 √ √ √ √ √ 其中√ 表示有航班 始发地 A B C D 目的地 A B C D 例 某航空公司在 A、B、C、D 四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地. B A C D 城市间的航班图情况常用表格来表示: √ √ 一、矩阵概念的引入 为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一个数表： A B C D A B C D √ √ √ √ √ √ √ 这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况. 其中aij 表示工