线性代数几何背景及应用线性数几何背景及应用线性代数几何背景及应用线性代数几何背景及应用.ppt

线性代数中的几何背景 一、方程及方程组的几何意义 二、行列式的几何意义 三、平面上线性变换的几何意义 四、二维矩阵特征值的几何意义 五、向量组的线性相关性的几何意义 六、二次型的正定性及其所对应的 二次曲面 一、方程及方程组的几何意义 二元一次方程在几何上表示的是一根直线，则两个二元一次方程组在几何上则表示两根直线的位置关系： 相交====〉有惟一解 平行====〉无解 重合====〉无穷多解 例1 求解下列三个线性方程组 （a） （b） （c） 用ezplot(s1),hold on, ezplot(s2),命令 可以解出结果如下图 其中s1和s2分别为方程的字符串表达式 若有三个二元一次方程或更多个数的二元一次方程，代数上称之为 “超定方程”，一般是不相容的和无解的，几何中平面上三根或更多根直线很难交于一点。 例2 求解方程组 用图解法解例2 三元一次方程在几何上表示平面，从而两个三元一次方程构成的方程组表示两个平面的交线，三个三元一次方程构成的方程组两两联立求交线，得到两个二元一次方程，对于求得两根交线在xoy面上的投影。求得两根交线的交点即为方程组的解。若三个平面不重合且没有交线或交点，则表示该方程组无解。如下例。 例3 求解下列线性方程组，并画出三维图形来表示解的情况。 （1） ； （2） ； （3） ； （4） 利用MATLAB的M文件编辑器绘图可得： 图3 三元非齐次线性方程组解的几何意义 从图3中可以看出： 方程组（1）的解为三个平面的交点，故该方程组有 唯一解； 方程组（2）的三个平面刚好相交于同一条直线，这个齐次线性方程组有无穷多解，即解空间是一维的。 方程组（3）的三个平面没有共同的交点。即方程组无解。 方程组（4）也无解。 推广之后，更多元的线性代数方程组，则表示更高维空间内的方程组，虽然很难想象直观的几何图形，但关于方程的基本概念是一脉相承的，涉及到计算就是从几何概念过渡到代数概念。如：阶数、维数等概念。 二、行列式的几何意义 二维 已知向量 由向量 和 所构成的 平行四边形的面积为 行列式 的绝对值 三维 已知三个向量 由这三个向量所构成的平行六面体的体积即为 三阶行列式 的绝对值 如图 三、平面上线性变换的几何意义 例3 已知向量 ， 矩阵 ， ， ， ， 。 请分析经过线性变换 后，向量 与原向量 的几何关系 。 绘制图形如下图所示： 图4 线性变换的几何意义 从图4中可以看出： 矩阵 对 进行线性变换的结果 为向量 的竖直轴对称向量； 矩阵 对 进行线性变换的结果 为向量 的水平轴对称向量； 矩阵 对 进行线性变换的结果 为把向量 的横坐标乘以0.5，把 的纵坐标乘以2得到的向量； 矩阵 对 进行线性变换的结果 为把向量 按顺时针方向旋转 所得到的向量。 例4：设x为二维平面上第一象限中的一个单位方块，其四个顶点的数据可写成 把不同的A矩阵作用于