线性代数矩阵及其运算线性代矩阵及其运算线性代数矩阵及其运算线性代数矩阵及其运算.ppt

教学基本要求 引 言 例 设 AB 求AB和BA BA AB和BA都意义，但不同型，故AB≠BA. 解 例 求AB、BA和BC AB BA (1) AB与BA都有意义，且同型，但AB与BA不相等 (2) 两个非零矩阵相乘可能是零矩阵 (3) BA=BC,但A≠C,可见，矩阵乘法不满足消去率 BC 解 AB≠BA , BA=BC 例 求AB和BA AB BA AB =BA 如果同阶方阵A和B满足AB=BA,则称A与B可交换 解 矩阵的乘法虽不满足交换律、消去率， 但满足下列运算率（P6）： (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅳ) 记 则线性方程组(1)可通过矩阵的乘法表示成矩阵形式 系数矩阵 未知数列矩阵 常数列矩阵 矩阵A表示两车间生产三种产品的数量 矩阵B表示三种产品的单位产品消耗两种原料的数量 车间一 车间二 面包 蛋糕 饼干 面包 蛋糕 饼干 糖 面粉 则如何用矩阵表示两车间需要消耗的原材料的数量？ 方阵的幂 设A是n阶方阵，k为正整数，则 表示 k个A连乘, 如 显然，只有方阵的幂才有意义 四、转置矩阵 (Transpose) 行、列对调 例 运 算 律 可推广到有限多个的情形 定义1.6 (P6) 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做的A转置矩阵，记作 或 对称矩阵 如果方阵A满足 就称A为对称矩阵 例如 方阵A为对称矩阵 矩阵A中关于主对角线对称位置上的每一对元素都相等 定义1.7 (P10) 设A为n阶方阵, AB=BA=I 就称为A可逆矩阵， 如果存在n阶方阵B，使得 并称B为A的逆矩阵（简称A的逆),记作 定理1.1 如果A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的 证明 设B和C都是A的逆矩阵， 则AB=BA=I, AC=CA=I B =BI =B(AC) =(BA)C =IC =C 1.1.4 逆矩阵 * * * * * * 华南农业大学理学院应用数学系 多媒体教学课件 1、提前预习，积极听课； 2、认真完成作业，计入平时成绩； 3、随机点名考勤，考勤结果计入平时成绩； 5、联系电话 e-mail：zhaolx@scau.edu.cn 4、总评成绩=平时（占30%）+期末（占70%） 《线性代数》是以行列式、矩阵为工具，研究线性变量之间关系的一门数学分科，它包括求值、求解及性质的讨论。 密切相关学科：运筹学（线性规划） 第一章 矩阵 第四章 向量的内积与二次型 第六章 Matlab 软件的应用 第二章 向量与线性方程组 第五章 线性空间与线性变换 第三章 矩阵的特征与特征向量 教 学 计 划 10学时 6学时 4学时 8学时 4学时 略 第一章 矩 阵 §1 矩阵及其运算 §3 行列式 §2 矩阵的初等变换与初等矩阵 §4 行列式和逆矩阵的应用 矩阵及其运算 第一节 引例一 某企业生产4种产品，各种产品的季度产值 （单位：万元）如下表： 80 82 70 88 4 90 90 75 90 3 84 85 70 98 2 78 75 75 80 1 D C B A 数 表 抽象 描述各种产品各季度的产值 揭示产值随季度的变化规律、 年产量等 引例二 某航空公司在A，B，C，D四城市之间开辟了若干航线，右图表示了四城市之间的航班图，若从A到B有航班，则用带箭头的线连接A与B： √ D √ √ √ C √ √ √ B √ √ A D C B A 终点 始发 数 表 B A C D 抽象 反映四城市之间的交通连接情况 1.1.1 线性方程组与矩阵的概念 m个方程， n个未知数 线性方程组的一般形式为 数 表 定义1.1 (P2) 由m?n个数aij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) 排成的m行n列的数表 第一行 第二行 第一列 第二列 其中诸 叫做矩阵的元素，矩阵可以简记 称为m行n列矩阵 ，简称为 矩阵, 通常用大写的英文 字母A,B,…表示， 行矩阵：只有一行的矩阵 也称为行向量 列矩阵：只有一列的矩阵 也称为列向量 元素全是零的矩阵叫做零矩阵，简记为Om?n 特例 行数与列数相等的矩阵，称为方阵。 有n行n列的矩阵称为n阶方阵或n阶矩阵 特例 几种特殊形式的方阵 上三角形矩阵 下三角形矩阵 ——三角形矩阵 数量矩阵 对角阵