线性代数第五版3线性代数第版3五版3.ppt

第 1 步： A 经过一次初等行变换变为 B，则R(A)≤R(B) ． 证明： 设 R(A) = r ，且 A 的某个 r 阶子式 D ≠ 0 ． 当 或 时， 在 B 中总能找到与 D 相对应的 r 阶子式 D1 ． 由于D1 = D 或 D1 = －D 或 D1 = kD，因此 D1 ≠ 0 ，从而 R(B) ≥r ． 当 时，只需考虑 这一特殊情形． 返回 第 1 步： A 经过一次初等行变换变为 B，则R(A)≤R(B) ． 证明（续）：分两种情形讨论： (1) D 中不包含 r1 中的元素 这时 D 也是 B 的 r 阶非零子式，故 R(B) ≥ r ． (2) D 中包含 r1 中的元素 这时 B 中与 D 相对应的 r 阶子式 D1 为 若p = 2，则 D2 = 0，D = D1 ≠ 0 ，从而 R(B) ≥ r ； 若p≠2，则 D1－kD2 = D ≠ 0 ， 因为这个等式对任意非零常数 k 都成立， 所以 D1、D2 不同时等于零， 于是 B 中存在 r 阶非零子式 D1 或 D2，从而 R(B) ≥ r ， 即R(A)≤R(B) ． 定理：若 A ~ B，则 R(A) = R(B) ． 应用：根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把 矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是 该矩阵的秩． 例：求矩阵 的秩，并求 A 的一个 最高阶非零子式． 解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵． 行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ． 第二步求 A 的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行 的第一个非零元所在的列 ，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、 二、四列． R(A0) = 3，计算 A0的前 3 行构成的子式 因此这就是 A 的一个最高阶非零子式． 分析：对 B 作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设 B 的行阶梯 形矩阵为 ，则 就是 A 的行阶梯形矩阵，因此可从 中同时看出R(A)及 R(B) ． 例：设 ，求矩阵 A 及矩阵 B = (A, b) 的秩． 解： R(A) = 2 R(B) = 3 矩阵的秩的性质 若 A 为 m×n 矩阵，则 0≤R(A)≤min(m, n) ． R(AT) = R(A) ． 若 A ~ B，则 R(A) = R(B) ． 若 P、Q 可逆，则 R(PAQ) = R(B) ． max{R(A), R(B)}≤R(A, B)≤R(A)＋R(B) ． 特别地，当 B = b 为非零列向量时，有 R(A)≤R(A, b)≤R(A)＋1 ． R(A＋B)≤R(A)＋R(B) ． R(AB)≤min{R(A), R(B)} ． 若 Am×n Bn×l = O，则 R(A)＋R(B)≤n ． 例：设 A 为 n 阶矩阵， 证明 R(A＋E)＋R(A－E)≥n ． 例：若 Am×n Bn×l = C，且 R(A) = n，则R(B) = R(C) ． 附注： 当一个矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为列满秩矩阵． 特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵． 本题中，当 C = O，这时结论为： 设 AB = O，若 A 为列满秩矩阵，则 B = O ． 例：设 A 为 n 阶矩阵， 证明 R(A＋E)＋R(A－E)≥n ． 证明：因为 (A＋E)＋ (E－A) = 2E， 由性质“R(A＋B)≤R(A)＋R(B) ”有 R(A＋E)＋R(E－A)≥R(2E) = n ． 又因为R(E－A) = R(A－E)，所以 R(A＋E)＋R(A－E)≥n ． 结论 把矩阵A的第 i 行与第 j 行对调，即 . 把矩阵A的第 i 列与第 j 列对调，即 . 以非零常数 k 乘矩阵A的第 i 行，即 . 以非零常数 k 乘矩阵A的第 i 列，即 . 把矩阵A第 j 行的 k 倍加到第 i 行，即 . 把矩阵A第 i 列的 k 倍加到第 j 列，即 . 性质1 设A是一个 m×n 矩阵， 对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘