线性方程与非线性方程的概述运用线性方程与非线性方程的概述与运用线性方程与非线性方程的概述与运用线性方程与非线性方程的概述与运用.ppt

线性方程与非线性方程的概述与运用 问题背景和研究目的 解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是众多应用领域中不可避免的问题之一。 求解一般非线性方程没有通用的解析方法，但如果 在任意给定的精度下，能够解出方程的近似解，则 可以认为问题已能够解决，至少可以满足实际需要。 本节主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：二分法，迭代法 （ 牛顿法）。同时要求大家学会如何利用Matlab 来求方程的近似解。 2.6 非线性方程近似根 相关概念 如果 f(x) 是一次多项式，称上面的方程为线性方程； 否则称之为非线性方程。 线性方程 与 非线性方程 问题： 如何求连续的非线性方程 实根的近似值。 根的隔离 若函数 f(x) 在闭区间[a,b]上连续，且 f(a)f(b)0，则 f(x)在开区间 (a,b)内至少存在一个根。通过根的隔离，可假设此区间内存在唯一根 x*。 基本思想 二分法 将隔离区间进行对分，判断出解在某个子区间内，然后再对该子区间对分，依次类推，直到满足给定的精度为止。 适用范围 求有根区间内的 单根 或 奇数重实根。 数学原理：介值定理 设 f(x) 在 [a, b] 上连续，且 f(a) f(b)0，则由介值定理可得，在 (a, b) 内至少存在一点 ? 使得 f(?)=0。 算法 二分法 设方程在区间 [a,b] 内连续，且 f(a)f(b)0，给定精度要求 ? ，若有 |f(x)|? ，则 x 就是f(x) 在区间 (a,b) 内的 近似根。 收敛性分析 二分法收敛性 设方程的根为 x* ? (an , bn ) ，又 ，所以 0(n ?) 根据上面的算法，我们可以得到一个每次缩小一半的区间序列 {[an , bn ]} ，在 (an, bn ) 中含有方程的根。 二分法总是收敛的 二分法的收敛速度较慢 通常用来给出根的一个 较为粗糙的近似。 简单迭代法 基本思想 构造 f (x) = 0 的一个等价方程： 从某个初值 x0 出发，构造迭代格式 得到一个迭代序列 k = 0, 1, 2, ... ... ? (x) 的不动点 f (x) = 0 x = ? (x) 等价变换 f (x) 的零点 ?(x) 称为迭代函数 若 收敛，即 ，假设 ?(x) 连续，则 收敛性分析 迭代法的收敛性 即 注：若得到的点列发散，则迭代法失效！ 迭代法的收敛性判据 定理2.1：全局收敛 定理2.2：全局发散 定理2.3：局部收敛与发散 定理2.4：收敛速度 定义： 迭代法收敛性判断 如果存在 x* 的某个邻域 ? =(x*-? , x* +? ), 使得对 ? x0 ? ? 开始的迭代 xk+1 = ?(xk) 都收敛, 则称该迭代法在 x* 附近局部收敛。 定理 1： 设 ?(x) 在某个邻域 ? 内连续，且对 ?x?? 都有 |?’(x)|?L 1, 则迭代局部收敛。 迭代法收敛性判断 定理 2： 设 ，且 对 ? x?[a, b]，有 ?(x)?[a, b]； 对 ? x?[a, b]，有|?’(x)|?L 1； 则对 ?x0?[a, b] ，由迭代 xk+1 = ?(xk) 得到的点列都收敛（全局收敛），且 L 越小，迭代收敛越快 收敛阶 为了进一步研究收敛速度问题，引入阶的概念： 记 ，如果 ( p=1时还要求0c1) 则称迭代是p阶收敛的。 p=1时，称为线性收敛， p1时称为超线性收敛。 p越大收敛越快。 牛顿迭代法 令： 基本思想： 用线性方程来近似非线性方程，即采用线性化方法 设非线性方程 f (x)=0 , f (x) 在 xk 处作 Taylor 展开 牛顿迭代公式 k = 0, 1, 2, ... ... 牛顿迭代公式 牛顿法的优点 牛顿法是目前求解非线性方程 (组) 的主要方法 对于单重根迭代2阶收敛，收敛速度较快， 特别是当迭代点充分靠近精确解时。 牛顿法的缺点 对重根收敛速度只有线性收敛 对初值的选取很敏感，要求初值接近精确解 在实际计算中，如果要求高精度，可以先用其它方法（如二分法）获得精确解的一个粗糙近似，然后再用牛顿法求解。 牛顿迭代法大范围收敛性 Matlab 解方程的函数 roots(p)：多项式的所有零点，p 是多项式系数向量。 fzero(f,x0)：求 f=0