线性空间的性质.doc

学年论文（本科） 学 院 数学与信息科学学院 专 业 信息与计算科学 年 级 2011 级 姓 名 魏 云 论文题目 线性空间的性质 指导教师 韩英波 职称 副教授 成 绩 2013年3月16日 学年论文成绩评定表 评 语 成 绩： 指导教师签名 201 年 月 日 学院意见： 学院院长签名 201 年 月 日 与，在V中都有一个确定的元素与只对应，称为与的和，记法=+），同时也定义了一个用F上的数乘以V中元素，乘积保持为V中元素的数乘运算（也就是说，给出了这样一个对应法则，对于F上的任意一个数与V中任意一个元素，按照这个法则，V中总有一个确定的元素与之对应，称为乘的数乘积，记法= ）有关这两个运算还满足以下八条运算律： 设 (1) (2) (3) V中存在零元素，记它为0，对任何V中元素，都有+0=成立; (4) 对V中的任何元素，V中一定还存在的负元素，记为-，使得+（-）=0; (5) 1=; (6) (7) (8) 这时便称V是数域F上的一个线性空间. 注：实数域R上的线性空间称为是线性空间；复数域C上的线性空间称为复线性空间. 2线性空间的相关理论 2.1线性空间的一些简单性质 （1）零元素唯一； （2）的负元素唯一； （3）； （4）-（-）=； （5） （6） （7） 2.2向量的线性关系 2.2.1线性组合与线性表示 （1）设是线性空间V中的向量组，F,称 为的一个线性组合； （2）零向量可由任一向量组线性表示； （3）一个向量组中的每一个向量都可由这个向量组线性表示； （4）如果向量可由线性表示，而每个线性表示，则可由线性表示. 2.2.2线性相关与线性无关 （1）设 是线性空间V中的向量组，若有F中不全为0的数，使得 =0， 则称线性相关；否则，称线性无关，即若 =0， 则. (2)若中有一零向量，则此向量必线性相关. (3)单个零向量线性相关，一个非零向量线性无关. (4)的m个向量线性相关的充要条件是其次线性方程AX=0有非零解，其中A=即r(A)m.特别地，当m=n时，线性相关当且仅当. (5)将一个线性相关（无关）的向量组任意添加（减少）若干个非零向量所得的新向量组仍线性相关（无关）. (6)将线性无关的r维向量组中的每个向量均延长相同个数的分量而得到的n维向量组仍线性无关. (7)线性无关，则不能由线性表示的充要条件是，线性无关. (8) 可由线性表示，则表示法唯一的充要条件是线性无关. (9) （）线性相关的充要条件是其中某向量是其余向量的线性组合. (10)设，则对A施行初等行变换不改变A的列向量线性关系. 2.2.3向量组的等价 （1）和是线性空间V中的两个向量组，若的每个向量都可由线性表示，中的每个向量都可由线性表出，即与可以相互线性表出，就说与等价. （2）向量组的等价关系具有反身性、传递性和对称性. （3）（Steinitz替换定理）设向量组（）:线性无关，并且可由向量组（）：线性表示，则 （i） (ii)必要时对（）中的向量重新编号，使得用替换 所得的向量组与（）等价. 推论1 若向量组可由线性表示且ms，则线性相关. 推论 2 等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量. 2.2.4极大线性无关组 （1）向量组中的部分向量称为一个极大线性无关组（简称为极大无关组），如果 （i）线性无关； （ii）中的任一向量都可由线性表示. （2）每一个不全由零向量组成的向量组都有极大无关组. （3）等价向量组的极大无关组含有相同个数的向量.特别地，一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量. （4）一个向量组的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩. （5）秩为r的向量组中的任何r个线性无关的向量为其一极大无关组，并且任何两个极大无关组都等价. （6）两个向量组等价必等秩，但反之不真. （7）设两个向量组与的秩都为r，并且可由线性表示，则这两个向量组等