线性空间与线性变换内积空间性空间与线性变换内积空间线性空间与线性变换内积空间线性空间与线性变换内积空间.ppt

2.4 正交补 正交补的存在唯一性 向量的正投影 垂线最短定理 最小二乘法 例题 重要的子空间：生成子空间 设向量组｛?1，?2，···，? m｝?V，由它们的一切线性组合生成的子空间： Span{?1，?2，···，?m }=L(?1，?2，···，?m) = ｛k1?1+k2?2+···+km?m| ki} 生成子空间的重要的性质： 1）如果?1，?2，···，?m线性无关，则其为生成子空间Span{?1，?2，···，?m }的一组基； 2）如果?1，?2，···，?r是向量组?1，?2，···，?m的最大线性无关组，则 ?Span{?1，?2，···，?m } ??1，?2，···，?r是Span{?1，?2，···，?m }的一组基 2、子空间的“交空间”与“和空间” 讨论：设W 1? V，W2 ? V，且都是子空间，则W1?W2和W1?W2是否仍然是子空间？ （1）?? 交空间 交集： W1?W2=｛?? ??W1 而且 ??W 2｝?Vn（F） W1?W2是子空间，被称为“交空间” （2）和空间 和的集合：W1＋W2=｛?=X1＋X2?X1?W1，X2?W2｝ W1?W2 ? W1＋W2 W1＋W2是子空间，被称为“和空间”， W1?W2不一定是子空间，W1?W2 ? W1＋W2 例 设R3中的子空间W1=L{e1}，W2=L{e2} 求和空间W1＋W2。 比较：集合W1?W2和集合W1＋W2。 如果 W1=Span{?1，?2，…，? m }， W2=Span{?1，?2，…，? k}， 则 W1＋W2=Span{?1，?2，…，?m，?1，?2，…，? k } 3 、维数公式 子空间的包含关系： dimW1?W2 ? dim Wi ? dimW1＋W2 ? dimVn（F）。 维数定理： dimW1＋dimW2=dim（W1＋W2）＋dim（W1?W2） 证明： 4 、子空间的直和 分析：如果dim（W1?W2）?0，则 dim（W1＋W2）?dimW1＋dimW2 所以： dim（W1＋W2）=dimW1＋dimW2 ? dim（W1?W2）=0 ? W1?W2={0} 直和的定义： 若 dim（W1?W2）=0 ，则和为直和 W=W 1＋W2=W1?W2， 子空间的“和”为“直和”的充要–条件 ： Theorem 设W=W1＋W2，则下列各条等价： （1）????????? W=W1?W2 （2）????????? ?X ?W，X=X 1＋X2的表 是惟一的 （3）????????? W中零向量的表示是惟一的 （4）????????? dim W =dimW1＋dimW2 例???P13 1.2.6 例???设在Rn×n中，子空间 W 1={A ?AT =A } ， W2={B ?BT= –B }， 证明Rn×n=W1?W2。 §1·3 线性变换(Linear Transformations) 一、?????? 线性变换的概念 线性变换的来历； Definition： （i）T是V上的映射：T：V?V。 (ii) T具有线性性： T（?＋?）=T（?）＋T（?） (保持加法的三角形法则) T（k?）=kT（ ? ） (保持比例关系) 2 线性变换的性质： （i）T(0)=0 （ii） T(－?)=－T(?) （iii）? 3 线性变换的象空间和零空间 设线性变换T：V?V， 象空间 Im(T)=｛?： ???V，?=T(?)｝ ? 零空间 Ker(T)=｛?：??V，T ( ?) =0 ｝ 定义： T 的秩=dim R（T）； T 的零度=dim N（T） 线性变换保持线性相关性不变