线性代数总复习.ppt

一．向量组的线性关系,秩 本部分的特点是概念性强,抽象,因此是最难的部分,但又是全课程的理论基础,理论制高点,也是考试的重点之所在. 基本概念有:线性表示,线性相关性, 向量组的极大无关组和秩,矩阵的秩. 秩是起到关键性作用的量,它既有用,又好算,应该充分注意它的应用. 1. 线性表示 (1)向量b可用a1,a2,…,as 线性表示(记作b?a1,a2,…,as ),即n维向量b是a1,a2,…,as的一个线性组合. 其重要性在于和线性方程组有没有解的关系:“b是否可以用a1, a2,…,as线性表示? 表示方式是否唯一？”也就是“线性方程组AX=b是否有解？解是否唯一？”其中A=(a1, a2,…,as ). (2) b1,b2,…,bt可以用a1,a2,…,as线性表示(记作b1,b2,…,bt?a1,a2,…,as ),即每个bi 都可以用a1,a2,…,as线性表示. (3) 向量组a1,a2,…,as 和b1,b2,…,bt等价,即它们互相都可以表示,记作{a1,a2,…,as }?{b1,b2,…,bt}. 线性表示的判断: (1) b可用a1,a2,…,as 线性表示?r(a1,a2,…,as,b)=r(a1,a2,…,as). (事实上若b不可用a1,a2,…,as 线性表示,则r(a1,a2,…,as,b)=r(a1,a2,…,as)+1.) (2)b1,b2,…,bt可以用a1,a2,…,as 线性表示? r(a1,a2,…,as,b1,b2,…,bt)=r(a1,a2,…,as). 从而有 r(b1,b2,…,bt)?r(a1, a2,? ,as ). (3) a1,a2,…,as和b1,b2,…,bt等价? r(a1,a2,…,as)= r(a1,a2,…,as, b1,b2,…,bt)= r(b1,b2,…,bt). 2. 向量组的线性相关性 (1)定义和意义 定义 设a1,a2,…,as 是n维向量组,如果存在不全为0的一组数c1,c2,…,cs使得 c1a1+c2a2+…+csas=0, 则说a1,a2,…,as 线性相关,否则(即要使得c1a1+c2a2+…+csas=0,必须c1,c2,…,cs全为0)就说它们线性无关. 和齐次线性方程组的关系 “a1,a2,…,as 线性相关还是无关”也就是“向量方程x1a1+ x2a2+…+xsas=0 有没有非零解”,也就是齐次线性方程组AX=0有没有非零解. 意义 在s1时,线性无关就是每个 aI都不能用其它向量线性表示; 线性相关就是有向量(不必每个)可以用其它向量线性表示. (2) 线性相关性的判别: ① 当向量的个数s大于维数n时, a1, a2,…,as 一定线性相关. 如果向量的个数s等于维数n,则 a1, a2,…,an线性相关?| a1, a2,…,an|=0. ② 线性无关向量组的每个部分组都无关. ③ 如果a1,a2,…,as 线性无关, 则 a1,a2,…,as ,b线性无关?b不能用a1,a2,…,as 线性表示. ④ 如果b1,b2,…,bt可以用a1,a2,…,as 线性表示，并且ts,则b1,b2,…,bt线性相关. ⑤ a1,a2,…,as 线性无关? r(a1,a2,…,as)=s. 有时还要用定义,例如要证明a1,a2,…,as 线性无关, 就要说明从c1a1+c2a2+…+csas=0可推出c1,c2,…,cs全为0. 3.向量组的极大无关组和秩 秩是向量组内在线性性质的定量研究.它是刻画向量组相关“程度”的一个数量概念.它表明向量组可以有多大(指包含向量的个数)的线性无关的部分组. 定义 设a1,a2,…,as 是n维向量组,(I)是它的一个部分组.如果 ① (I) 线性无关. ② (I) 再扩大就线性相关. 就称(I)为a1,a2,…,as 的一个极大无关组. 极大无关组中所包含向量的个数称为a1,a2,…,as 的秩,记作r(a1,a2,…,as). 如果a1,a2,…,as 全是零向量(此时极大无关组不存在),则规定r(a1,a2,…,as)=0. 于是,0?r(a1,a2,…,as)?个数s,维数n. 例：有3阶矩阵 已知r(AB)小于r(A)和r(B),求a,b和r(AB). 是齐次方程程组 的基础解系 例2已知 t取什么值时 也是齐次方程程组 的基础解系 二. 线性方程组解 线性方程组是课程的最主要部分,是考试的最大重点,但是考点很集中(解的情况的判别和通解的计算),有关的结论又十分明确。 1. 线性方程组解的情况的判别 对于方程组 判别其解的情况用三个数: 方程的个数m虽然在判别公式中没有