线性系统理论1数学基础线性统理论1数学基础线性系统理论1数学基础线性系统理论1数学基础.ppt

线性系统理论 主讲：韦文斌 第一章 数学基础 1.1线性空间与线性变换 1.1.1线性空间定义 在集合上赋予一定的结构或一定的要求,这个集合就称为一个特定的空间。 定义1.1.1 线性空间定义（11页）： 设V是一个非空集合,P是一个数域…… 1.1.2 线性空间的基和维数 1.1.3 线性变换 例1.1.7 记  这里 表示 区间上一次可微函数的全体， 表示 区间上连续函数的全体。容易验证 都是实数域 上的线性空间。定义也不难验证 是 到 的线性变换，有时也称为线性算子或微分算子。 1.2 矩阵代数中的几个结果 1.2.1 矩阵必秩的条件 定义1.2.1 矩阵 列秩:矩阵中列向量的最大线性无关组的个数； 行秩:矩阵中行向量的最大线性无关组的个数。 矩阵的行秩与列秩相等。 矩阵A的行秩和列秩称为矩阵A的秩。 1.2.2 Vendermonde矩阵与友矩阵 ⑴ Vendermonde矩阵及基性质 ⑵友矩阵及其性质 1.2.3 Cayley-Hamilton定理与化零多项式 1.2.4 豫解矩阵与Leverrier算法 1.3 多项式矩阵 1.3.1 基本概念 1.3.2 初等变换 多项式的初等行(列)变换,是指下列三种典型操作: ①矩阵的两行(或两列)互换位置; ②矩阵的某一行(或某一列)乘以非零的常数C; ③矩阵的某一行(或某一列)加上另一行(或列)的Φ(s)倍, Φ(s)为一个多项式。 1.3.3 Smith标准型 定义1.3.3 如果可以用一系列初选变换将多项 式方阵A(s)化为多项式矩阵B(s),则称多项式A(s)和B(s)互相等价。 等价是多项式矩阵之间的一种关系，有下述三个性质： ①反身性，每一个多项式矩阵均与自身等价； ②对称性， A(s)等价B(s)， B(s) 等价A(s)； ③传递性，A(s)等价B(s)， B(s) 等价C(s)， A(s)等价C(s) 。 1.4有理分式矩阵及其互质分解 1.4.1 互质多项式矩阵 1.4.2 有理分式矩阵的互质分解 1.4.3 1.5 Jordan分解 1.5.1 特征值的几何重数与代数重数 1.5.2 广义特征向量链 我们可对应地将特征向量矩阵V按列做如下分块 1.5.3 Jordan分解的求取 1.6 广义Sylvester矩阵 1.6.1 求解问题与假设条件 1.6.2 完全解析解之一 1.6.3 完全解析解之二 例1.6.1 设 则由算法1.4.1 易得 从而由定理1.6.2易得，以该组矩阵构成的广义sylvester矩阵方程的完全解析通解为 如果特别取 可得该方程的一组特解为 矩阵某特征值的几何重数: 矩阵的Jordan标准型与该特征值相关联的Jordan块的个数. 矩阵某特征值的代数重数: 矩阵的Jordan标准型与该特征值相关所有的Jordan块的阶数之和. * * 则 也是实数域 R上的线性空间。因此不难看出，实数域上的线性空间的本质是指他们内部的运算具有线性性。 例1.1.3 设 是线性空间， 则不难验证 是 的子空间。它也称为由 构成的子空间。 例1.1.4 设 是线性空间 是 的子空间，也称 是由 所生成的子空间 例1.1.5 设 是线性空间，显然 ，那么 是 的子空间，称为零子空间。 中 个元 或称为 中 的 个向量，则 例1.1.6 在欧氏空间 中选取个无关向量 它们便构成 的一组基。因此， 也称为 维欧氏空间。 例1.1.8 令 则 为 上的线性变换，易知 是 的核空间，即 显然，若向量 构成 的一组基，则由上述基的定义可知，对所有 ，均可以惟一表成 我们称 为关于基 的坐标。若向量 构成 的另一组基，则有 而对任意 ，有 由此可知 我们称 为基 和基 之间的坐标变换。容易验证，坐标变换也是 上的线性变换。 * * *