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线性代数Linear Algebra 任课教师:邓辉文 前言 一.代数最早就是求解方程或方程组. 线性代数需要解决的第一个问题就是求解线性方程组. 代数就是在所考虑的对象之间规定一些运算后得到的一种数学结构. 线性代数参考书 魏战线,工程数学《线性代数》(第2版)，辽宁大学出版社,2000 (全国高等教育自学考试教材) (有同步辅导/同步训练配套教材) 第1章 线性方程组 1.1 线性方程组与矩阵的有关概念 1.2 线性方程组解的存在性 1.2.1线性方程组的解 1个解(a solution)? 1.3 线性方程组的高斯求解方法 求解线性方程组: 先判断是否有解; 在有解时, 再求出所有解(通解). 1.3.1 将增广矩阵化为行阶梯形矩阵 例1.7 求解下列线性方程组 2、转置矩阵 转置是另外一种排列方式: 概念? 转置实际上是矩阵的一种运算--转置运算?. 3、几种特殊矩阵 (1) 单位矩阵 (2) 对角矩阵 单位阵是对角阵. 对角线元素相同的n阶对角阵称为数量矩阵(scalar matrix)，其一般形式为 (3) 零矩阵 元素全为0的m ? n矩阵称为零矩阵(zero matrix)，记为O或Om ? n. (4) 上(下)三角阵 对角线以下元素全为0的方阵称为上三角阵(uppertriangular matrix): 对角线以上元素全为0的方阵称为下三角阵(lower triangular matrix): 4、矩阵相等 A = B: 矩阵A和矩阵B对应的元素分别相等. Remark 只有同型的两个矩阵才可能相等. 例1.5 A = [1，2，3；4，5，6；7，8，9] A B=A 在MATLAB中有很多产生特殊矩阵的命令，如元素全为1的矩阵ones(m, n)、元素全为0的矩阵zeros(m, n)和[0，1]上均匀分布的随机矩阵rand(m, n)等. (1)非齐次线性方程组 (2)齐次线性方程组 线性方程组有零解?该线性方程组是齐次的. 于是,齐次线性方程组有(零)解!! 注意 齐次线性方程组可能有非零解. 1.2.2 线性方程组的同解变换与矩阵的初等行变换 线性方程组的同解变换: (1) 交换第i个方程和第j个方程的位置. (2) 第i个方程两边同时乘以不为0的数k. (3) 第i个方程两边乘以同一个数k后，分别加在第j个方程的两边. 采用同解变换得到的线性方程组与原线性方程组是同解的，即它们的解完全相同. (I)交换第1个方程和第2个方程的位置. (II)第3个方程两边同时乘以不为0的数1/3. (III)第1个方程两边乘以同一个数-2后，分别加在第2个方程. 定义1.4 矩阵的初等行变换(row elementary operations of a matrix)有以下3种： (1) 换行 交换第i行和第j行的位置，记为ri ? rj. (2) 倍乘 将第i行乘以不为0的数k，记为kri. (3) 倍加 将第i行乘以一个数k加在第j行，记为kri+ rj. 1.2.3 高斯消元法、行阶梯形矩阵与矩阵的秩 1.消元(elimination)? “换行”和“倍乘”是为了方便消元. C. F. Gauss提出该方法,后来称为Gauss消元法, 可直接称为消元法. 但中国人大约在公元前250年就会一些简单的消元. 在矩阵中这样做,也称为Gauss消元法或消元法. 前面采用的是“向下消元”,并可以继续下去: 2.行阶梯阵(row echelon matrix) 梯阵(echelon matrix)，可以在该矩阵里面画一条阶梯线，满足 (1) 线的下方元素全为0； (2) 每个台阶只有一行，台阶数即为非零行的行数； (3) 阶梯线的竖线后面的第一个元素非零，该元素称为该非零行的首非零元素即首元. 下列几个矩阵均不是行阶梯形矩阵: 3.矩阵的秩 矩阵的秩是矩阵理论中最重要的概念之一, F.G. Frobenius(1917)借助于行列式引入的. Def 1.5 在矩阵A的行阶梯形矩阵中，其非零行的行数称为矩阵的秩(rank of the matrix A)，记为R(A)(或r(A)). R(B) = 3 ? R(A) = ? (不看最后一列即可!) 定理 1.1 设线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别为A和B，则该线性方程组有解的充要条件是R(A) = R(B). 第一，若线性方程组有解，则R(A) = R(B). 因为R(A) ? R(B)，意味着在B的行阶梯形矩阵的最后非零行里会出现0, 0, …, 0, d，