向量的直角坐标运算向量的直坐标运算角坐标运算.doc

向量的直角坐标运算 【】 1. 2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否平行． 3. 通过学习，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力． 【】【】 【】 【】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 1．平面内建立了直角坐标系，点A可以么表示?2．平面向量是否也有类似的表示呢? 3．平面向量定理内容什么?师提出问题．回忆解答．为知识迁移做准备． 新 课 新 课 新 课 新 课 新 课 1．向量的直角坐标 在直角坐标系内，我们分别 (1) 取基向量: 与 x 轴和y 轴的正方向相同的两个单位向量e1e2作为基向量． (2) 得到实数对：任作一个向量a， 由平面向量定理，有且只有一对实数a1，a2，使得a＝a1e1＋a2e2，我们把(a1，a2)叫做向量a 的坐标，记作a＝(a1，a2)， 其中a1 叫做a 在x轴上的坐标，a2 叫做a 在y轴上的坐标．e1e2叫做直角坐标平面上的基向量． 式叫做向量的坐标表示 探究： （1）如图，e1，e2是直角坐标平面上的基向量，你能写出0，e1，e2的坐标吗？ e1＝(1，0)，＝(0，1)，0＝(0，0)． 设点A的坐标为(x，y)，则＝xe1＋ye2＝(x，y)即点A的位置向量的坐标(x，y)，也就是点A的坐标；反之，点A的坐标也是点A相对于坐标原点的位置向量的坐标． 例1 如图，用基向量e1，e2分别表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标． 解 由图可知 a＝e1＋e2＝(，)， b＝－2e1＋3e2＝(－2，3) c＝－2e1－3e2＝(－2，－3) d＝2e1－3e2＝(2，－3) 2．向量的直角坐标运算 (1) 如果 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a＋b＝(a1，a2)＋(b1，b2) ＝(a1＋b1，a2＋b2)； a－b＝(a1，a2)－(b1，b2) ＝(a1－b1，a2－b2)； λa＝λ(a1，a2)＝(λa1，λa2)，其中 λ 是实数． 证明 a＋b＝(a1，a2)＋(b1，b2) ＝(a1e1＋a2e2)＋(b1e1＋b2e2) ＝a1e1＋b1e1＋a2e2＋b2e2 ＝(a1＋b1) e1＋(a2＋b2) e2 ＝(a1＋b1，a2＋b2)． 请同学仿照上面的证明，自己证明其他两个结论． 上述向量的坐标运算公式，也可用语言分别表述为： 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差； 数乘向量积的坐标等于数乘上向量相应坐标的积． 例2 已知 a＝(2，1)，b＝(－3，4)，求a＋b，a－b，3a＋4b． 解a＋b＝(2，1)＋(－3，4)＝(－1，5)； a－b＝(2，1)－(－3，4)＝(5，－3)； 3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4) ＝(6，3)＋(－12，16) ＝(－6，19)． 例3 已知A (x1，y1)，点 B (x2，y2)，求的坐标． 解＝－ ＝(x2，y2)－(x1，y1) ＝(x2－x1，y2－y1)． 此结论可用语言表述为： 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的相应坐标． 练习一 1．已知a，b的坐标，求a＋b，a－b： (1) a＝(4，3)，b＝(－4，8)； (2) a＝(3，0)，b＝(0，4)2．已知 A，B 两点的坐标，求 ， 的坐标： (1) A(－3，4)，B(6，3)； (2) A(－3，6)，B(－8，－7)例4 已知A (－2，1)，点 B (1，3)，求线段AB中点M的坐标． 解 因为＝－ ＝(1，3)－(－2，1)＝(3，2)； 所以＝＋ ＝＋ ＝(－2，1)＋(3，2) ＝(－，2)． 因此M(－，2)． 3．用向量的坐标表示向量平行的条件 （1）平行向量基本定理如果向量b≠0，则a//b 的充分必要条件是，存在唯一实数λ，使 a＝λb （2）数乘向量已知b＝(b1，b2)，则λb＝(λb1，λb2) ． 问题在直角坐标系中，向量可以用坐标表示，那么，能否用向量的坐标表示两个向量的平行呢？ 探究设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如果b ≠ 0，则条件