向量与矩阵范数.doc

向量与矩阵范数 在欧氏空间与酉空间中，我们通过向量的内积定义了下列的长度，对于一般的线性空间，能否引入一个类似于长度而又比其更广泛的概念呢？这就是范数的概念。向量范数与矩阵范数是应用非常广泛的重要概念，从范数可导出向量与向量，矩阵与矩阵之间的距离，进而引进向量序列和矩阵序列收敛性问题.它是矩阵分析与计算的基础. §1 向量范数 定义1．1 设V是数域上的线性空间，如果对于任意按照某种法则对应于一个实数，且满足： 非负性 .当且仅当时，； 齐次性 ； 三角不等式 对任意总有，； 则称实数为线性空间V上向量的范数.简称向量范数.定义了范数的线性空间V称为赋范线性空间. 由定义1.1可以看出，向量范数是定义在线性空间上的非负实值函数，它具有下列性质： 当时，； 对任意向量，有； ； . 性质（1）与（2）是显然成立的，下面证明性质（3） 因为 ， 所以 . 同理可证 ， 即 . 综上有 . 若用代替性质（3）中的，便得到性质（4）. 上最著名的范数是p范数，也称赫尔德（h?lder）范数 ，. 这里，其中最常用的是时的p范数，即 ； 。 当时， . 关于和满足范数定义的三条是容易的，而要验证是上的向量范数，则需要著名h?lder的不等式： 其中，，p，q均为大于1的实数，且满足. 证明 当时，至少有一个分量不为零，按定义显然有 . 而且当且仅当. 对任意，任意向量按定义有 . 对任意两个向量，其中，，则 利用h?lder的不等式，可得 从而 . 定理1．1 （1）对任意及任意的有，； （2）对任意的有，. 证明（1）略 （2）设，则 . 由于，因而，故，所以. 由Hospital法则可知，，于是有 . 在实际应用中，常常利用已知范数构造出实用的新范数，下述定理就给出一种最简单的构造方法. 定理1．2 设是上的范数，是秩为n的复矩阵，则由 ， 所定义的实函数是上的范数. 直接验证这样定义的实函数满足范数的定义即可. 推论 设是n阶正定的复矩阵，则由 ， 定义的实函数是上的范数. 是一种非常重要的向量范数，他在某些实际应用中常常是十分方便的. 下图从左至右依次给出了在1-范数，2-范数和-范数下，平面上的单位圆（一维单位球面） 一般地，我们将赋范线性空间V中范数为1的向量的集合称为单位球面，范数小于等于1的向量的集合称为单位球。 赋范线性空间V中的单位球与单位球面具有重要意义，因为在几何上，他们相当于实数轴上的单位闭区间或其端点，相当于平面上的单位圆盘或单位圆周，以及空间中的单位球或单位球面。因此它们都是有界闭集（更精确地，是紧集）。从数学分析课程中我们知道，连续函数在有界闭集上一定有最大值与最小值。研究赋范线性空间V中的连续函数或变换（算子）的一个重要技巧是设法将函数的定义域限制或转移到单位球或单位球面上。 定义1．2 设与是n维线性空间V的任意两种向量范数，若存在两个与向量无关的正常数，使得对V中所有向量，都有下面不等式成立. . 则称范数与范数是等价的。 定理1．3 设与是有限维线性空间V的任意两种向量范数，则范数与范数是等价的。 在证明该定理时，可先证明，对V中任意向量，与都是n个变量的n元连续函数，再利用连续函数在有界闭集有最大值与最小值这个性质.就可证明上述不等式. 证明 设是n维线性空间V的一组基，于是V中的任意向量都可惟一的表示为 . 则 . 它可以看作是n个坐标分量的n元函数，记为 . 则是坐标分量的连续函数. 事实上，设另一个向量为 ，. 则 由于是常数，所以，当y与 x无限接近时，充分接近.这就说明向量范数是坐标分量的连续函数.同理可证，向量范数是坐标分量的连续函数. 当时，，由于它们都是的连续函数，因此，若设 ， 则也是的连续函数. 考虑单位超球面 由于S有界闭集，且f在S上的值均不为零，因此，f在上S连续，根据多元连续函数的性质可知，在有界闭集S上可取得最大值M与最小值m，即 . 即 ， 又由于对任意，且，则向量为S中的向量，从而有 . 即 . 取，则有. §2 矩阵范数 本节将进一步把范数的概念推广到m×n矩阵上，一个m×n矩阵当然可以看作m×n维向量，因此可以按向量定义范数的办法来定义矩阵的范数.但是，由于在线性空间中只考虑加法运算与数乘运算，而在矩阵空间中，还必须考虑矩阵与向量以及矩阵与矩阵之间的乘法运算，因此在定义矩