向量组与矩阵的秩向量组与矩的秩阵的秩.ppt

湖南科技大学 吴晓勤 第三章 向量组与矩阵的秩 从二维、三维向量谈起 §1 n维向量 §2 线性相关与线性无关 §3 线性相关性的判别定理 §4 向量组的秩与矩阵的秩 §5 矩阵的初等变换 §6 初等变换与求矩阵的逆 §7 向量空间 利用初等行变换可把矩阵 化为行阶梯形矩阵. 利用初等行变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵. 4、 利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩阵 化为标准形矩阵. 5、矩阵的秩 最高阶非零子式的阶数 行阶梯形矩阵非零行的行数 行最简形矩阵非零行的行数 标准形矩阵中单位矩阵的阶数 定义14 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 初等矩阵都是方阵，互换E的第i行与第j行（或者互换E的第i列与第j列）的位置，得 , ( j ) 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 O L M O M L O = i E M M L L 用常数k乘E的第i行（或i列），得 把E的第j行的k倍加到第i行（或第i列的k倍加到第j列）得 初等变换 初等矩阵 初等逆变换 初等逆矩阵 这三类矩阵就是全部的初等矩阵，有 E(i,j)-1＝E(i,j) E(i(k))-1=E(i(1/k)), E(i+j(k))-1=E(i+j(-k)) 定理15 对一个s×n矩阵A作一初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的s×s初等矩阵；对A作一初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的n×n初等矩阵。 推论1 矩阵A与B等价的充分必要条件是有初等方阵P1，P2，…，Ps，Q1，…，Qt使 A＝P1P2…PsBQ1…Qt 推论2 n×n矩阵A可逆的充分必要条件它能表成一些初等矩阵的乘积。 推论3 两个s×n矩阵A、B等价的充分必要条件为存在可逆的s×s矩阵P与可逆的n×n矩阵Q使 A=PBQ 推论4 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。 上两式只是各分量的排列顺序不同，因此 当且仅当 所以 和 有相同的线性相关性。 (2)如果 线性无关， 那么 也线性无关。 定理5　在r维向量组 的各向量添上n-r个分量变成n维向量组 。 (1)如果 线性相关， 那么 也线性相关。 证 对列向量来证明定理。 利用(1)式,用反证法容易证明(2)式也成立。 因此, 也线性相关,即(1)式成立。 如果 线性相关,就有一个非零的s?1矩阵X,使 引理1 如果n阶方阵A的行列式等于零,那么A的行(列)向量组线性相关。 定理6 n维向量组 线性无关的充要条件是矩阵 的行列式不为零(A可逆)。此时,矩阵A的n个列向量也线性无关。 证：如果 A ?0，即A可逆， (k1,k2, L ,kn)A=0 两边同时右乘A-1得 (k1,k2, L ,kn) = 0 定理7 n+1个n维向量组 必线性相关。 推论 当mn时,m个n维向量组线性相关。 所以 线性无关 。 反过来，如果 线性无关，反设 A =0，由引理1，A的行向量组 线性相关，矛盾。 由上面的证明可以看出，当 A ?0时， A? ?0，可见A的n个列向量也线性无关。 例1 讨论下列向量组的线性相关性: 1)(2,3),(-3,1),(0,-2); 2)(1,2,3),(2,2,1),(3,4,3); 3)(1,3,-2,2),(0,2,-1,3),(-2,0,1,5). 解：1)32,所以线性相关 2)三个行向量排成一列，构成方阵，其行列式为2?0， 所以线性无关。 3） 2(1,3,-2,2)-3(0,2,-1,3)+(-2,0,1,5)=0 所以线性相关。 (2)如果 线性无关， 那么 也线性无关。 定理5　在r维向量组 的各向量添上n-r个分量变成n维向量组